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Le temps est un grand maître. Le malheur, c'est qu'il tue ses élèves.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 606 et 415 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 185 ?
Quel est le plus petit multiple de 9 supérieur à 80 ?
192 11340
927 140
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 154 garçons et les 70 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 140 s et un pilote amateur en 180 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 606 et 415 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 606 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 415 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 185 ?
On effectue la division euclidienne de 185 par 10 :
Quel est le plus petit multiple de 9 supérieur à 80 ?
On effectue la division euclidienne de 80 par 9 :
| 192 | 2 | 192 = 26 × 3 |
| 96 | 2 | |
| 48 | 2 | |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 11340 | 2 | 11340 = 22 × 34 × 5 × 7 |
| 5670 | 2 | |
| 2835 | 3 | |
| 945 | 3 | |
| 315 | 3 | |
| 105 | 3 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où192 11340
=192:12 11340:12
=16 945
927 : { 1; 3; 9; 103; 309; 927 }
140 : { 1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140 }
{ 1 }
PGCD(927;140) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 927 et 140 sont premiers entre eux.
Donc la fraction927 140
est irréductible.Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 154 garçons et les 70 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
70 = 5 × 14, mais 154 = 5 × 30 + 4 : le reste n'est pas nul, 154 n'est pas divisible par 5.
On ne peut pas constituer 5 groupes (tous les garçons ne seraient pas utilisés).
| 154 | 2 | 154 = 2 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 70 | 2 | 70 = 2 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 154 et 70 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 154 et 70.
154 = 2 × 7 × 11 et 70 = 2 × 5 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(154;70) = 2 × 7 = 14.
On pourra constituer au maximum 14 groupes.
154 ÷ 14 = 11 et 70 ÷ 14 = 5.
Chaque groupe contiendra 11 garçons et 5 filles.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 140 s et un pilote amateur en 180 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
840 = 6 × 140 : le professionnel a fait exactement 6 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
840 = 180 × 4 + 120 : le reste n'est pas nul, 840 n'est pas un multiple de 180.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 4 tours et 120 s.
| 140 | 2 | 140 = 22 × 5 × 7 |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 180 | 2 | 180 = 22 × 32 × 5 |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 140 s (aux multiples de 140), et l'amateur toutes les 180 s (aux multiples de 180). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 140 et 180 : la première fois, au bout du PPCM de 140 et 180.
140 = 22 × 5 × 7 et 180 = 22 × 32 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(140;180) = 22 × 32 × 5 × 7 = 1260.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1260 s, soit 21 min.
1260 ÷ 140 = 9 et 1260 ÷ 180 = 7.
Le professionnel aura fait 9 tours et l'amateur 7 tours.
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