site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 4096 et 2625 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   4096 / 2625

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 369 et 912.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 369 et 912.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   369 / 912

Une artisane dispose de 204 perles rouges et de 238 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.

• Tous les colliers contiennent le même nombre de perles rouges.
• Tous les colliers contiennent le même nombre de perles blanches.
• Toutes les perles sont utilisées.

1. Peut-on constituer 3 colliers ?
2. Décompose 204 et 238 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de colliers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque collier ?

Sur la piste du stade, Inès court un tour en 60 s et Yanis en 45 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 120 s, Inès est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas de Yanis ?
2. Décompose 60 et 45 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

On effectue la division euclidienne de 693 par 14 :

• 693 = 14 × 49 + 7 et 7 < 14
• 693 = 686 + 7
• donc 686 < 693 < 700 (686 + 14)

On effectue la division euclidienne de 131 par 14 :

• 131 = 14 × 9 + 5 et 5 < 14
• 131 = 126 + 5
• donc 126 < 131 < 140 (126 + 14)

1. Décompositions :
   4096 = 2¹²
   2625 = 3 × 5³ × 7
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(4096;2625) = 2¹² × 3 × 5³ × 7 = 10752000
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(4096,2625) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 4096 et 2625 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   4096 / 2625

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   369 : { 1; 3; 9; 41; 123; 369 }
   912 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 19; 24; 38; 48; 57; 76; 114; 152; 228; 304; 456; 912 }

2. Les diviseurs communs de 369 et 912 sont :

   { 1; 3 }

3. Le plus grand diviseur commun de 369 et 912 est :

   PGCD(369;912) = 3

4. Simplification de la fraction :

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   369 / 912

   =

   369:3 / 912:3

   =

   123 / 304

Une artisane dispose de 204 perles rouges et de 238 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.

• Tous les colliers contiennent le même nombre de perles rouges.
• Tous les colliers contiennent le même nombre de perles blanches.
• Toutes les perles sont utilisées.

1. Peut-on constituer 3 colliers ?
2. Décompose 204 et 238 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de colliers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque collier ?

1. Nombre de colliers :

   204 = 3 × 68, mais 238 = 3 × 79 + 1 : le reste n'est pas nul, 238 n'est pas divisible par 3.
   On ne peut pas constituer 3 colliers (tous les perles blanches ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 204 :

   204	2	204 = 22 × 3 × 17
   102	2
   51	3
   17	17
   1

   Décomposition de 238 :

   238	2	238 = 2 × 7 × 17
   119	7
   17	17
   1

3. Nombre maximal de colliers :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de colliers doit diviser à la fois 204 et 238 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de colliers est donc le PGCD de 204 et 238.

   204 = 2² × 3 × 17 et 238 = 2 × 7 × 17
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(204;238) = 2 × 17 = 34.
   On pourra constituer au maximum 34 colliers.

4. Composition de chaque collier :

   204 ÷ 34 = 6 et 238 ÷ 34 = 7.
   Chaque collier contiendra 6 perles rouges et 7 perles blanches.

Sur la piste du stade, Inès court un tour en 60 s et Yanis en 45 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 120 s, Inès est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas de Yanis ?
2. Décompose 60 et 45 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

1. Au bout de 120 s :

   120 = 2 × 60 : Inès a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
   120 = 45 × 2 + 30 : le reste n'est pas nul, 120 n'est pas un multiple de 45.
   Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 2 tours et 30 s.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 60 :

   60	2	60 = 22 × 3 × 5
   30	2
   15	3
   5	5
   1

   Décomposition de 45 :

   45	3	45 = 32 × 5
   15	3
   5	5
   1

3. Première rencontre :

   Inès passe sur la ligne de départ toutes les 60 s (aux multiples de 60), et Yanis toutes les 45 s (aux multiples de 45). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 60 et 45 : la première fois, au bout du PPCM de 60 et 45.

   60 = 2² × 3 × 5 et 45 = 3² × 5
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(60;45) = 2² × 3² × 5 = 180.
   Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 180 s, soit 3 min.

4. Nombre de tours :

   180 ÷ 60 = 3 et 180 ÷ 45 = 4.
   Inès aura fait 3 tours et Yanis 4 tours.