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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 284 et 371 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 292 ?
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 254 ?
13365 144
208 6125
Un maraîcher a cueilli 80 pommes et 110 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 84 s et un pilote amateur en 63 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 284 et 371 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 284 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 371 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 292 ?
On effectue la division euclidienne de 292 par 17 :
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 254 ?
On effectue la division euclidienne de 254 par 20 :
| 13365 | 3 | 13365 = 35 × 5 × 11 |
| 4455 | 3 | |
| 1485 | 3 | |
| 495 | 3 | |
| 165 | 3 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 144 | 2 | 144 = 24 × 32 |
| 72 | 2 | |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où13365 144
=13365:9 144:9
=1485 16
208 : { 1; 2; 4; 8; 13; 16; 26; 52; 104; 208 }
6125 : { 1; 5; 7; 25; 35; 49; 125; 175; 245; 875; 1225; 6125 }
{ 1 }
PGCD(208;6125) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 208 et 6125 sont premiers entre eux.
Donc la fraction208 6125
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a cueilli 80 pommes et 110 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
80 = 8 × 10, mais 110 = 8 × 13 + 6 : le reste n'est pas nul, 110 n'est pas divisible par 8.
On ne peut pas constituer 8 sacs (tous les poires ne seraient pas utilisés).
| 80 | 2 | 80 = 24 × 5 |
| 40 | 2 | |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 110 | 2 | 110 = 2 × 5 × 11 |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 80 et 110 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 80 et 110.
80 = 24 × 5 et 110 = 2 × 5 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(80;110) = 2 × 5 = 10.
On pourra constituer au maximum 10 sacs.
80 ÷ 10 = 8 et 110 ÷ 10 = 11.
Chaque sac contiendra 8 pommes et 11 poires.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 84 s et un pilote amateur en 63 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
168 = 2 × 84 : le professionnel a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
168 = 63 × 2 + 42 : le reste n'est pas nul, 168 n'est pas un multiple de 63.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 2 tours et 42 s.
| 84 | 2 | 84 = 22 × 3 × 7 |
| 42 | 2 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 63 | 3 | 63 = 32 × 7 |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 84 s (aux multiples de 84), et l'amateur toutes les 63 s (aux multiples de 63). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 84 et 63 : la première fois, au bout du PPCM de 84 et 63.
84 = 22 × 3 × 7 et 63 = 32 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(84;63) = 22 × 32 × 7 = 252.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 252 s, soit 4 min 12 s.
252 ÷ 84 = 3 et 252 ÷ 63 = 4.
Le professionnel aura fait 3 tours et l'amateur 4 tours.
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