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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 496 et 846 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 226 ?
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 316 ?
5040 9100
333 946
Un aquaculteur élève 180 petits bénitiers et 330 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 28 secondes, le phare B toutes les 12 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 496 et 846 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 496 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 846 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 226 ?
On effectue la division euclidienne de 226 par 13 :
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 316 ?
On effectue la division euclidienne de 316 par 27 :
| 5040 | 2 | 5040 = 24 × 32 × 5 × 7 |
| 2520 | 2 | |
| 1260 | 2 | |
| 630 | 2 | |
| 315 | 3 | |
| 105 | 3 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 9100 | 2 | 9100 = 22 × 52 × 7 × 13 |
| 4550 | 2 | |
| 2275 | 5 | |
| 455 | 5 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où5040 9100
=5040:140 9100:140
=36 65
333 : { 1; 3; 9; 37; 111; 333 }
946 : { 1; 2; 11; 22; 43; 86; 473; 946 }
{ 1 }
PGCD(333;946) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 333 et 946 sont premiers entre eux.
Donc la fraction333 946
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un aquaculteur élève 180 petits bénitiers et 330 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
330 = 11 × 30, mais 180 = 11 × 16 + 4 : le reste n'est pas nul, 180 n'est pas divisible par 11.
On ne peut pas constituer 11 lots (tous les petits bénitiers ne seraient pas utilisés).
180 = 15 × 12 et 330 = 15 × 22 : 180 et 330 sont tous les deux divisibles par 15.
On peut constituer 15 lots (12 petits bénitiers et 22 grands bénitiers dans chaque lot).
| 180 | 2 | 180 = 22 × 32 × 5 |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 330 | 2 | 330 = 2 × 3 × 5 × 11 |
| 165 | 3 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 180 et 330 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 180 et 330.
180 = 22 × 32 × 5 et 330 = 2 × 3 × 5 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(180;330) = 2 × 3 × 5 = 30.
On pourra constituer au maximum 30 lots.
180 ÷ 30 = 6 et 330 ÷ 30 = 11.
Chaque lot contiendra 6 petits bénitiers et 11 grands bénitiers.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 28 secondes, le phare B toutes les 12 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
56 = 2 × 28 : c'est un multiple de 28, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
56 = 12 × 4 + 8 : le reste n'est pas nul, 56 n'est pas un multiple de 12.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 28 | 2 | 28 = 22 × 7 |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 28 s, le phare B aux multiples de 12 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 28 et 12 : la première fois, au bout du PPCM.
28 = 22 × 7 et 12 = 22 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(28;12) = 22 × 3 × 7 = 84.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 84 s, soit 1 min 24 s.
84 ÷ 28 = 3 et 84 ÷ 12 = 7.
Le phare A aura émis 3 éclats et le phare B 7 éclats.
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