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Rien n'est plus semblable à l'identique que ce qui est pareil à la même chose.
Pierre Dac (sur mon T shirt!)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 145 et 844 par deux multiples consécutifs de 14.
Quel est le plus grand multiple de 6 inférieur à 61 ?
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 92 ?
3328 7245
960 828
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 440 dragées blanches et 240 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 48 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 112 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 145 et 844 par deux multiples consécutifs de 14.
On effectue la division euclidienne de 145 par 14 :
On effectue la division euclidienne de 844 par 14 :
Quel est le plus grand multiple de 6 inférieur à 61 ?
On effectue la division euclidienne de 61 par 6 :
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 92 ?
On effectue la division euclidienne de 92 par 6 :
| 3328 | 2 | 3328 = 28 × 13 |
| 1664 | 2 | |
| 832 | 2 | |
| 416 | 2 | |
| 208 | 2 | |
| 104 | 2 | |
| 52 | 2 | |
| 26 | 2 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 7245 | 3 | 7245 = 32 × 5 × 7 × 23 |
| 2415 | 3 | |
| 805 | 5 | |
| 161 | 7 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
3328 7245
est irréductible.960 : { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 30; 32; 40; 48; 60; 64; 80; 96; 120; 160; 192; 240; 320; 480; 960 }
828 : { 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 23; 36; 46; 69; 92; 138; 207; 276; 414; 828 }
{ 1; 2; 3; 4; 6; 12 }
PGCD(960;828) = 12
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où960 828
=960:12 828:12
=80 69
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 440 dragées blanches et 240 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
240 = 60 × 4, mais 440 = 60 × 7 + 20 : le reste n'est pas nul, 440 n'est pas divisible par 60.
On ne peut pas constituer 60 ballotins (tous les dragées blanches ne seraient pas utilisés).
| 440 | 2 | 440 = 23 × 5 × 11 |
| 220 | 2 | |
| 110 | 2 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 240 | 2 | 240 = 24 × 3 × 5 |
| 120 | 2 | |
| 60 | 2 | |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de ballotins doit diviser à la fois 440 et 240 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de ballotins est donc le PGCD de 440 et 240.
440 = 23 × 5 × 11 et 240 = 24 × 3 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(440;240) = 23 × 5 = 40.
On pourra constituer au maximum 40 ballotins.
440 ÷ 40 = 11 et 240 ÷ 40 = 6.
Chaque ballotin contiendra 11 dragées blanches et 6 dragées roses.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 48 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 112 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
288 = 6 × 48 : Camille a fait exactement 6 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
288 = 112 × 2 + 64 : le reste n'est pas nul, 288 n'est pas un multiple de 112.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 2 tours et 64 s.
| 48 | 2 | 48 = 24 × 3 |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 112 | 2 | 112 = 24 × 7 |
| 56 | 2 | |
| 28 | 2 | |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 48 s (aux multiples de 48), et Dominique toutes les 112 s (aux multiples de 112). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 48 et 112 : la première fois, au bout du PPCM de 48 et 112.
48 = 24 × 3 et 112 = 24 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(48;112) = 24 × 3 × 7 = 336.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 336 s, soit 5 min 36 s.
336 ÷ 48 = 7 et 336 ÷ 112 = 3.
Camille aura fait 7 tours et Dominique 3 tours.
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