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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 94 et 316 par deux multiples consécutifs de 7.
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 259 ?
Quel est le plus petit multiple de 22 supérieur à 515 ?
1092 15660
668 897
Un DJ a sélectionné 105 titres de rap et 350 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 6 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 15 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 94 et 316 par deux multiples consécutifs de 7.
On effectue la division euclidienne de 94 par 7 :
On effectue la division euclidienne de 316 par 7 :
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 259 ?
On effectue la division euclidienne de 259 par 27 :
Quel est le plus petit multiple de 22 supérieur à 515 ?
On effectue la division euclidienne de 515 par 22 :
| 1092 | 2 | 1092 = 22 × 3 × 7 × 13 |
| 546 | 2 | |
| 273 | 3 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 15660 | 2 | 15660 = 22 × 33 × 5 × 29 |
| 7830 | 2 | |
| 3915 | 3 | |
| 1305 | 3 | |
| 435 | 3 | |
| 145 | 5 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1092 15660
=1092:12 15660:12
=91 1305
668 : { 1; 2; 4; 167; 334; 668 }
897 : { 1; 3; 13; 23; 39; 69; 299; 897 }
{ 1 }
PGCD(668;897) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 668 et 897 sont premiers entre eux.
Donc la fraction668 897
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un DJ a sélectionné 105 titres de rap et 350 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
350 = 14 × 25, mais 105 = 14 × 7 + 7 : le reste n'est pas nul, 105 n'est pas divisible par 14.
On ne peut pas constituer 14 playlists (tous les titres de rap ne seraient pas utilisés).
| 105 | 3 | 105 = 3 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 350 | 2 | 350 = 2 × 52 × 7 |
| 175 | 5 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 105 et 350 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 105 et 350.
105 = 3 × 5 × 7 et 350 = 2 × 52 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(105;350) = 5 × 7 = 35.
On pourra constituer au maximum 35 playlists.
105 ÷ 35 = 3 et 350 ÷ 35 = 10.
Chaque playlist contiendra 3 titres de rap et 10 titres d'électro.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 6 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 15 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.
De 7 h 00 à 7 h 24, il s'écoule 24 min, et 24 = 4 × 6 :
c'est un multiple de 6, donc un bus de la ligne A part à 7 h 24.
24 = 15 × 1 + 9 : le reste n'est pas nul, 24 n'est pas un multiple de 15.
Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 24.
| 6 | 2 | 6 = 2 × 3 |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 15 | 3 | 15 = 3 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 6 min après 7 h 00, ceux de la ligne B aux multiples de 15 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 6 et 15 : la première fois, au bout du PPCM.
6 = 2 × 3 et 15 = 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(6;15) = 2 × 3 × 5 = 30.
Ils repartiront ensemble 30 min après 7 h 00 : à 7 h 30.
30 ÷ 6 = 5 et 30 ÷ 15 = 2.
5 bus de la ligne A et 2 bus de la ligne B seront partis.
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