site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 224 et 7533 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   224 / 7533

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 261 et 230.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 261 et 230.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   261 / 230

Un maraîcher a récolté 64 salades et 144 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.

• Tous les paniers contiennent le même nombre de salades.
• Tous les paniers contiennent le même nombre de bottes de carottes.
• Tous les légumes sont utilisés.

1. Peut-on constituer 8 paniers ? Et Peut-on constituer 12 paniers ?
2. Décompose 64 et 144 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de paniers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque panier ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 39 minutes et ceux de la ligne B toutes les 26 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 09. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 39 et 26 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

On effectue la division euclidienne de 794 par 11 :

• 794 = 11 × 72 + 2 et 2 < 11
• 794 = 792 + 2
• donc 792 < 794 < 803 (792 + 11)

On effectue la division euclidienne de 934 par 11 :

• 934 = 11 × 84 + 10 et 10 < 11
• 934 = 924 + 10
• donc 924 < 934 < 935 (924 + 11)

1. Décompositions :
   224 = 2⁵ × 7
   7533 = 3⁵ × 31
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(224;7533) = 2⁵ × 3⁵ × 7 × 31 = 1687392
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(224,7533) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 224 et 7533 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   224 / 7533

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   261 : { 1; 3; 9; 29; 87; 261 }
   230 : { 1; 2; 5; 10; 23; 46; 115; 230 }

2. Les diviseurs communs de 261 et 230 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 261 et 230 est :

   PGCD(261;230) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 261 et 230 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   261 / 230

   est irréductible.

Un maraîcher a récolté 64 salades et 144 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.

• Tous les paniers contiennent le même nombre de salades.
• Tous les paniers contiennent le même nombre de bottes de carottes.
• Tous les légumes sont utilisés.

1. Peut-on constituer 8 paniers ? Et Peut-on constituer 12 paniers ?
2. Décompose 64 et 144 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de paniers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque panier ?

1. Nombre de paniers :

   64 = 8 × 8 et 144 = 8 × 18 : 64 et 144 sont tous les deux divisibles par 8.
   On peut constituer 8 paniers (8 salades et 18 bottes de carottes dans chaque panier).

   144 = 12 × 12, mais 64 = 12 × 5 + 4 : le reste n'est pas nul, 64 n'est pas divisible par 12.
   On ne peut pas constituer 12 paniers (tous les salades ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 64 :

   64	2	64 = 26
   32	2
   16	2
   8	2
   4	2
   2	2
   1

   Décomposition de 144 :

   144	2	144 = 24 × 32
   72	2
   36	2
   18	2
   9	3
   3	3
   1

3. Nombre maximal de paniers :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de paniers doit diviser à la fois 64 et 144 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paniers est donc le PGCD de 64 et 144.

   64 = 2⁶ et 144 = 2⁴ × 3²
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(64;144) = 2⁴ = 16.
   On pourra constituer au maximum 16 paniers.

4. Composition de chaque panier :

   64 ÷ 16 = 4 et 144 ÷ 16 = 9.
   Chaque panier contiendra 4 salades et 9 bottes de carottes.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 39 minutes et ceux de la ligne B toutes les 26 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 09. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 39 et 26 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

1. À 7 h 09 :

   De 6 h 30 à 7 h 09, il s'écoule 39 min, et 39 = 1 × 39 : c'est un multiple de 39, donc un bus de la ligne A part à 7 h 09.
   39 = 26 × 1 + 13 : le reste n'est pas nul, 39 n'est pas un multiple de 26.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 09.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 39 :

   39	3	39 = 3 × 13
   13	13
   1

   Décomposition de 26 :

   26	2	26 = 2 × 13
   13	13
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 39 min après 6 h 30, ceux de la ligne B aux multiples de 26 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 39 et 26 : la première fois, au bout du PPCM.

   39 = 3 × 13 et 26 = 2 × 13
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(39;26) = 2 × 3 × 13 = 78.
   Ils repartiront ensemble 78 min après 6 h 30, soit 1 h 18 min plus tard : à 7 h 48.

4. Nombre de tours :

   78 ÷ 39 = 2 et 78 ÷ 26 = 3.
   2 bus de la ligne A et 3 bus de la ligne B seront partis.