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Albert Einstein
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 851 et 614 par deux multiples consécutifs de 12.
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 275 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 590 ?
2025 10125
1520 9639
Une artisane dispose de 66 perles rouges et de 72 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 12 secondes, le phare B toutes les 28 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 851 et 614 par deux multiples consécutifs de 12.
On effectue la division euclidienne de 851 par 12 :
On effectue la division euclidienne de 614 par 12 :
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 275 ?
On effectue la division euclidienne de 275 par 27 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 590 ?
On effectue la division euclidienne de 590 par 26 :
| 2025 | 3 | 2025 = 34 × 52 |
| 675 | 3 | |
| 225 | 3 | |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 10125 | 3 | 10125 = 34 × 53 |
| 3375 | 3 | |
| 1125 | 3 | |
| 375 | 3 | |
| 125 | 5 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où2025 10125
=2025:2025 10125:2025
=1 5
1520 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 19; 20; 38; 40; 76; 80; 95; 152; 190; 304; 380; 760; 1520 }
9639 : { 1; 3; 7; 9; 17; 21; 27; 51; 63; 81; 119; 153; 189; 357; 459; 567; 1071; 1377; 3213; 9639 }
{ 1 }
PGCD(1520;9639) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1520 et 9639 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1520 9639
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Une artisane dispose de 66 perles rouges et de 72 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.
66 = 3 × 22 et 72 = 3 × 24 : 66 et 72 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 colliers (22 perles rouges et 24 perles blanches dans chaque collier).
72 = 9 × 8, mais 66 = 9 × 7 + 3 : le reste n'est pas nul, 66 n'est pas divisible par 9.
On ne peut pas constituer 9 colliers (tous les perles rouges ne seraient pas utilisés).
| 66 | 2 | 66 = 2 × 3 × 11 |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 72 | 2 | 72 = 23 × 32 |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 2; 3; 6 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de colliers doit diviser à la fois 66 et 72 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de colliers est donc le PGCD de 66 et 72.
Le plus grand des diviseurs communs est 6.
On pourra constituer au maximum 6 colliers.
66 ÷ 6 = 11 et 72 ÷ 6 = 12.
Chaque collier contiendra 11 perles rouges et 12 perles blanches.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 12 secondes, le phare B toutes les 28 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
60 = 5 × 12 : c'est un multiple de 12, le phare A émet donc un éclat (son 5e depuis minuit).
60 = 28 × 2 + 4 : le reste n'est pas nul, 60 n'est pas un multiple de 28.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 28 | 2 | 28 = 22 × 7 |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 12 s, le phare B aux multiples de 28 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 12 et 28 : la première fois, au bout du PPCM.
12 = 22 × 3 et 28 = 22 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(12;28) = 22 × 3 × 7 = 84.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 84 s, soit 1 min 24 s.
84 ÷ 12 = 7 et 84 ÷ 28 = 3.
Le phare A aura émis 7 éclats et le phare B 3 éclats.
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