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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 859 et 914 par deux multiples consécutifs de 22.
Quel est le plus grand multiple de 6 inférieur à 51 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 532 ?
405 7047
160 3591
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 252 garçons et les 224 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 20 secondes, le phare B toutes les 16 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 859 et 914 par deux multiples consécutifs de 22.
On effectue la division euclidienne de 859 par 22 :
On effectue la division euclidienne de 914 par 22 :
Quel est le plus grand multiple de 6 inférieur à 51 ?
On effectue la division euclidienne de 51 par 6 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 532 ?
On effectue la division euclidienne de 532 par 26 :
| 405 | 3 | 405 = 34 × 5 |
| 135 | 3 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 7047 | 3 | 7047 = 35 × 29 |
| 2349 | 3 | |
| 783 | 3 | |
| 261 | 3 | |
| 87 | 3 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où405 7047
=405:81 7047:81
=5 87
160 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 32; 40; 80; 160 }
3591 : { 1; 3; 7; 9; 19; 21; 27; 57; 63; 133; 171; 189; 399; 513; 1197; 3591 }
{ 1 }
PGCD(160;3591) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 160 et 3591 sont premiers entre eux.
Donc la fraction160 3591
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 252 garçons et les 224 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
252 = 21 × 12, mais 224 = 21 × 10 + 14 : le reste n'est pas nul, 224 n'est pas divisible par 21.
On ne peut pas constituer 21 groupes (tous les filles ne seraient pas utilisés).
| 252 | 2 | 252 = 22 × 32 × 7 |
| 126 | 2 | |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 224 | 2 | 224 = 25 × 7 |
| 112 | 2 | |
| 56 | 2 | |
| 28 | 2 | |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 7; 14; 28 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 252 et 224 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 252 et 224.
Le plus grand des diviseurs communs est 28.
On pourra constituer au maximum 28 groupes.
252 ÷ 28 = 9 et 224 ÷ 28 = 8.
Chaque groupe contiendra 9 garçons et 8 filles.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 20 secondes, le phare B toutes les 16 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
40 = 2 × 20 : c'est un multiple de 20, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
40 = 16 × 2 + 8 : le reste n'est pas nul, 40 n'est pas un multiple de 16.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 20 | 2 | 20 = 22 × 5 |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 16 | 2 | 16 = 24 |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 20 s, le phare B aux multiples de 16 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 20 et 16 : la première fois, au bout du PPCM.
20 = 22 × 5 et 16 = 24
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(20;16) = 24 × 5 = 80.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 80 s, soit 1 min 20 s.
80 ÷ 20 = 4 et 80 ÷ 16 = 5.
Le phare A aura émis 4 éclats et le phare B 5 éclats.
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