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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 665 et 79 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 9 inférieur à 86 ?
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 293 ?
7280 6696
11907 9200
La responsable d'une animalerie a reçu 440 poissons rouges et 280 poissons-clowns. Elle veut les vendre en lots identiques.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 24 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 36 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 00.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 665 et 79 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 665 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 79 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 9 inférieur à 86 ?
On effectue la division euclidienne de 86 par 9 :
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 293 ?
On effectue la division euclidienne de 293 par 23 :
| 7280 | 2 | 7280 = 24 × 5 × 7 × 13 |
| 3640 | 2 | |
| 1820 | 2 | |
| 910 | 2 | |
| 455 | 5 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 6696 | 2 | 6696 = 23 × 33 × 31 |
| 3348 | 2 | |
| 1674 | 2 | |
| 837 | 3 | |
| 279 | 3 | |
| 93 | 3 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où7280 6696
=7280:8 6696:8
=910 837
11907 : { 1; 3; 7; 9; 21; 27; 49; 63; 81; 147; 189; 243; 441; 567; 1323; 1701; 3969; 11907 }
9200 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 23; 25; 40; 46; 50; 80; 92; 100; 115; 184; 200; 230; 368; 400; 460; 575; 920; 1150; 1840; 2300; 4600; 9200 }
{ 1 }
PGCD(11907;9200) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 11907 et 9200 sont premiers entre eux.
Donc la fraction11907 9200
est irréductible.La responsable d'une animalerie a reçu 440 poissons rouges et 280 poissons-clowns. Elle veut les vendre en lots identiques.
440 = 8 × 55 et 280 = 8 × 35 : 440 et 280 sont tous les deux divisibles par 8.
On peut constituer 8 lots (55 poissons rouges et 35 poissons-clowns dans chaque lot).
440 = 55 × 8, mais 280 = 55 × 5 + 5 : le reste n'est pas nul, 280 n'est pas divisible par 55.
On ne peut pas constituer 55 lots (tous les poissons-clowns ne seraient pas utilisés).
| 280 | 2 | 280 = 23 × 5 × 7 |
| 140 | 2 | |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 440 et 280 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 440 et 280.
440 = 23 × 5 × 11 et 280 = 23 × 5 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(440;280) = 23 × 5 = 40.
On pourra constituer au maximum 40 lots.
440 ÷ 40 = 11 et 280 ÷ 40 = 7.
Chaque lot contiendra 11 poissons rouges et 7 poissons-clowns.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 24 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 36 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 00.
De 6 h 00 à 6 h 48, il s'écoule 48 min, et 48 = 2 × 24 :
c'est un multiple de 24, donc un bus de la ligne A part à 6 h 48.
48 = 36 × 1 + 12 : le reste n'est pas nul, 48 n'est pas un multiple de 36.
Aucun bus de la ligne B ne part à 6 h 48.
| 24 | 2 | 24 = 23 × 3 |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 24 min après 6 h 00, ceux de la ligne B aux multiples de 36 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 24 et 36 : la première fois, au bout du PPCM.
24 = 23 × 3 et 36 = 22 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(24;36) = 23 × 32 = 72.
Ils repartiront ensemble 72 min après 6 h 00, soit 1 h 12 min plus tard : à 7 h 12.
72 ÷ 24 = 3 et 72 ÷ 36 = 2.
3 bus de la ligne A et 2 bus de la ligne B seront partis.
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