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J'ai essayé de passer ma vie à comprendre pourquoi la haute culture n'a pas pu enrayer la barbarie.
George Steiner
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 841 et 752 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 103 ?
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 142 ?
13608 12348
2000 1701
Une collectionneuse souhaite revendre ses cartes Pokémon. Elle possède 363 cartes de type « feu » et 198 cartes de type « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques.
Un engrenage est composé d'une roue A de 15 dents et d'une roue B de 20 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 841 et 752 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 841 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 752 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 103 ?
On effectue la division euclidienne de 103 par 10 :
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 142 ?
On effectue la division euclidienne de 142 par 18 :
| 13608 | 2 | 13608 = 23 × 35 × 7 |
| 6804 | 2 | |
| 3402 | 2 | |
| 1701 | 3 | |
| 567 | 3 | |
| 189 | 3 | |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 12348 | 2 | 12348 = 22 × 32 × 73 |
| 6174 | 2 | |
| 3087 | 3 | |
| 1029 | 3 | |
| 343 | 7 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où13608 12348
=13608:252 12348:252
=54 49
2000 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 25; 40; 50; 80; 100; 125; 200; 250; 400; 500; 1000; 2000 }
1701 : { 1; 3; 7; 9; 21; 27; 63; 81; 189; 243; 567; 1701 }
{ 1 }
PGCD(2000;1701) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2000 et 1701 sont premiers entre eux.
Donc la fraction2000 1701
est irréductible.Une collectionneuse souhaite revendre ses cartes Pokémon. Elle possède 363 cartes de type « feu » et 198 cartes de type « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques.
198 = 22 × 9, mais 363 = 22 × 16 + 11 : le reste n'est pas nul, 363 n'est pas divisible par 22.
On ne peut pas constituer 22 paquets (tous les cartes « feu » ne seraient pas utilisés).
| 363 | 3 | 363 = 3 × 112 |
| 121 | 11 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 198 | 2 | 198 = 2 × 32 × 11 |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de paquets doit diviser à la fois 363 et 198 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paquets est donc le PGCD de 363 et 198.
363 = 3 × 112 et 198 = 2 × 32 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(363;198) = 3 × 11 = 33.
On pourra constituer au maximum 33 paquets.
363 ÷ 33 = 11 et 198 ÷ 33 = 6.
Chaque paquet contiendra 11 cartes « feu » et 6 cartes « terre ».
Un engrenage est composé d'une roue A de 15 dents et d'une roue B de 20 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 15 = 30 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 30 = 20 × 1 + 10 : le reste n'est pas nul, 30 n'est pas un multiple de 20.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 15 | 3 | 15 = 3 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 20 | 2 | 20 = 22 × 5 |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 15 et 20 : la première fois, au PPCM.
15 = 3 × 5 et 20 = 22 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(15;20) = 22 × 3 × 5 = 60.
Il passe 60 dents au point de contact, soit 60 ÷ 15 = 4 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 4 tours de la roue A.
60 ÷ 20 = 3.
La roue B aura effectué 3 tours.
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