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Si tous les hommes étaient gynécologues, il y aurait beaucoup moins de crimes passionnels.
Jean Anouilh
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 73 et 244 par deux multiples consécutifs de 18.
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 228 ?
Quel est le plus petit multiple de 5 supérieur à 86 ?
4050 1024
12152 2565
À la fin d'une collecte, une association a récolté 190 tee-shirts et 304 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
Un engrenage est composé d'une roue A de 55 dents et d'une roue B de 44 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 73 et 244 par deux multiples consécutifs de 18.
On effectue la division euclidienne de 73 par 18 :
On effectue la division euclidienne de 244 par 18 :
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 228 ?
On effectue la division euclidienne de 228 par 24 :
Quel est le plus petit multiple de 5 supérieur à 86 ?
On effectue la division euclidienne de 86 par 5 :
| 4050 | 2 | 4050 = 2 × 34 × 52 |
| 2025 | 3 | |
| 675 | 3 | |
| 225 | 3 | |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 1024 | 2 | 1024 = 210 |
| 512 | 2 | |
| 256 | 2 | |
| 128 | 2 | |
| 64 | 2 | |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où4050 1024
=4050:2 1024:2
=2025 512
12152 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 31; 49; 56; 62; 98; 124; 196; 217; 248; 392; 434; 868; 1519; 1736; 3038; 6076; 12152 }
2565 : { 1; 3; 5; 9; 15; 19; 27; 45; 57; 95; 135; 171; 285; 513; 855; 2565 }
{ 1 }
PGCD(12152;2565) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 12152 et 2565 sont premiers entre eux.
Donc la fraction12152 2565
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
À la fin d'une collecte, une association a récolté 190 tee-shirts et 304 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
190 = 5 × 38, mais 304 = 5 × 60 + 4 : le reste n'est pas nul, 304 n'est pas divisible par 5.
On ne peut pas constituer 5 lots (tous les pantalons ne seraient pas utilisés).
| 304 | 2 | 304 = 24 × 19 |
| 152 | 2 | |
| 76 | 2 | |
| 38 | 2 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 190 et 304 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 190 et 304.
190 = 2 × 5 × 19 et 304 = 24 × 19
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(190;304) = 2 × 19 = 38.
On pourra constituer au maximum 38 lots.
190 ÷ 38 = 5 et 304 ÷ 38 = 8.
Chaque lot contiendra 5 tee-shirts et 8 pantalons.
Un engrenage est composé d'une roue A de 55 dents et d'une roue B de 44 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 55 = 110 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 110 = 44 × 2 + 22 : le reste n'est pas nul, 110 n'est pas un multiple de 44.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 55 | 5 | 55 = 5 × 11 |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 44 | 2 | 44 = 22 × 11 |
| 22 | 2 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 55 et 44 : la première fois, au PPCM.
55 = 5 × 11 et 44 = 22 × 11
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(55;44) = 22 × 5 × 11 = 220.
Il passe 220 dents au point de contact, soit 220 ÷ 55 = 4 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 4 tours de la roue A.
220 ÷ 44 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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