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Il semble parfois que Dieu, en créant l'homme, ait quelque peu surestimé ses capacités.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 300 et 230 par deux multiples consécutifs de 18.
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 234 ?
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 208 ?
128 10752
9315 2816
Une collectionneuse souhaite revendre ses cartes Pokémon. Elle possède 130 cartes de type « feu » et 286 cartes de type « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 16 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 40 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 300 et 230 par deux multiples consécutifs de 18.
On effectue la division euclidienne de 300 par 18 :
On effectue la division euclidienne de 230 par 18 :
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 234 ?
On effectue la division euclidienne de 234 par 15 :
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 208 ?
On effectue la division euclidienne de 208 par 11 :
| 128 | 2 | 128 = 27 |
| 64 | 2 | |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 10752 | 2 | 10752 = 29 × 3 × 7 |
| 5376 | 2 | |
| 2688 | 2 | |
| 1344 | 2 | |
| 672 | 2 | |
| 336 | 2 | |
| 168 | 2 | |
| 84 | 2 | |
| 42 | 2 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où128 10752
=128:128 10752:128
=1 84
9315 : { 1; 3; 5; 9; 15; 23; 27; 45; 69; 81; 115; 135; 207; 345; 405; 621; 1035; 1863; 3105; 9315 }
2816 : { 1; 2; 4; 8; 11; 16; 22; 32; 44; 64; 88; 128; 176; 256; 352; 704; 1408; 2816 }
{ 1 }
PGCD(9315;2816) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 9315 et 2816 sont premiers entre eux.
Donc la fraction9315 2816
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Une collectionneuse souhaite revendre ses cartes Pokémon. Elle possède 130 cartes de type « feu » et 286 cartes de type « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques.
130 = 13 × 10 et 286 = 13 × 22 : 130 et 286 sont tous les deux divisibles par 13.
On peut constituer 13 paquets (10 cartes « feu » et 22 cartes « terre » dans chaque paquet).
130 = 5 × 26, mais 286 = 5 × 57 + 1 : le reste n'est pas nul, 286 n'est pas divisible par 5.
On ne peut pas constituer 5 paquets (tous les cartes « terre » ne seraient pas utilisés).
| 130 | 2 | 130 = 2 × 5 × 13 |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 286 | 2 | 286 = 2 × 11 × 13 |
| 143 | 11 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de paquets doit diviser à la fois 130 et 286 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paquets est donc le PGCD de 130 et 286.
130 = 2 × 5 × 13 et 286 = 2 × 11 × 13
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(130;286) = 2 × 13 = 26.
On pourra constituer au maximum 26 paquets.
130 ÷ 26 = 5 et 286 ÷ 26 = 11.
Chaque paquet contiendra 5 cartes « feu » et 11 cartes « terre ».
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 16 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 40 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
De 7 h 15 à 7 h 47, il s'écoule 32 min, et 32 = 2 × 16 :
c'est un multiple de 16, donc un bus de la ligne A part à 7 h 47.
32 = 40 × 0 + 32 : le reste n'est pas nul, 32 n'est pas un multiple de 40.
Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 47.
| 16 | 2 | 16 = 24 |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 40 | 2 | 40 = 23 × 5 |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 16 min après 7 h 15, ceux de la ligne B aux multiples de 40 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 16 et 40 : la première fois, au bout du PPCM.
16 = 24 et 40 = 23 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(16;40) = 24 × 5 = 80.
Ils repartiront ensemble 80 min après 7 h 15, soit 1 h 20 min plus tard : à 8 h 35.
80 ÷ 16 = 5 et 80 ÷ 40 = 2.
5 bus de la ligne A et 2 bus de la ligne B seront partis.
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