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D'après une étude américaine, 20% des habitants de notre planète parle anglais. Oui, les 80% restant n'ont pas compris la question.
Jean Yanne
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 909 et 796 par deux multiples consécutifs de 19.
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 573 ?
Quel est le plus petit multiple de 17 supérieur à 223 ?
13750 1260
2080 3591
Un pâtissier a fabriqué 66 chocolats et 154 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 21 secondes, le phare B toutes les 35 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 909 et 796 par deux multiples consécutifs de 19.
On effectue la division euclidienne de 909 par 19 :
On effectue la division euclidienne de 796 par 19 :
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 573 ?
On effectue la division euclidienne de 573 par 26 :
Quel est le plus petit multiple de 17 supérieur à 223 ?
On effectue la division euclidienne de 223 par 17 :
| 13750 | 2 | 13750 = 2 × 54 × 11 |
| 6875 | 5 | |
| 1375 | 5 | |
| 275 | 5 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 1260 | 2 | 1260 = 22 × 32 × 5 × 7 |
| 630 | 2 | |
| 315 | 3 | |
| 105 | 3 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où13750 1260
=13750:10 1260:10
=1375 126
2080 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 13; 16; 20; 26; 32; 40; 52; 65; 80; 104; 130; 160; 208; 260; 416; 520; 1040; 2080 }
3591 : { 1; 3; 7; 9; 19; 21; 27; 57; 63; 133; 171; 189; 399; 513; 1197; 3591 }
{ 1 }
PGCD(2080;3591) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2080 et 3591 sont premiers entre eux.
Donc la fraction2080 3591
est irréductible.Un pâtissier a fabriqué 66 chocolats et 154 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
66 = 11 × 6 et 154 = 11 × 14 : 66 et 154 sont tous les deux divisibles par 11.
On peut constituer 11 boîtes (6 chocolats et 14 biscuits dans chaque boîte).
154 = 7 × 22, mais 66 = 7 × 9 + 3 : le reste n'est pas nul, 66 n'est pas divisible par 7.
On ne peut pas constituer 7 boîtes (tous les chocolats ne seraient pas utilisés).
| 66 | 2 | 66 = 2 × 3 × 11 |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 154 | 2 | 154 = 2 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 66 et 154 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 66 et 154.
66 = 2 × 3 × 11 et 154 = 2 × 7 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(66;154) = 2 × 11 = 22.
On pourra constituer au maximum 22 boîtes.
66 ÷ 22 = 3 et 154 ÷ 22 = 7.
Chaque boîte contiendra 3 chocolats et 7 biscuits.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 21 secondes, le phare B toutes les 35 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
63 = 3 × 21 : c'est un multiple de 21, le phare A émet donc un éclat (son 3e depuis minuit).
63 = 35 × 1 + 28 : le reste n'est pas nul, 63 n'est pas un multiple de 35.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 21 | 3 | 21 = 3 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 35 | 5 | 35 = 5 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 21 s, le phare B aux multiples de 35 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 21 et 35 : la première fois, au bout du PPCM.
21 = 3 × 7 et 35 = 5 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(21;35) = 3 × 5 × 7 = 105.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 105 s, soit 1 min 45 s.
105 ÷ 21 = 5 et 105 ÷ 35 = 3.
Le phare A aura émis 5 éclats et le phare B 3 éclats.
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