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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 668 et 290 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 201 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 172 ?
3276 3312
272 4275
Un maraîcher a cueilli 108 pommes et 84 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 343 s et Yanis en 98 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 668 et 290 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 668 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 290 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 201 ?
On effectue la division euclidienne de 201 par 13 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 172 ?
On effectue la division euclidienne de 172 par 26 :
| 3276 | 2 | 3276 = 22 × 32 × 7 × 13 |
| 1638 | 2 | |
| 819 | 3 | |
| 273 | 3 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 3312 | 2 | 3312 = 24 × 32 × 23 |
| 1656 | 2 | |
| 828 | 2 | |
| 414 | 2 | |
| 207 | 3 | |
| 69 | 3 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où3276 3312
=3276:36 3312:36
=91 92
272 : { 1; 2; 4; 8; 16; 17; 34; 68; 136; 272 }
4275 : { 1; 3; 5; 9; 15; 19; 25; 45; 57; 75; 95; 171; 225; 285; 475; 855; 1425; 4275 }
{ 1 }
PGCD(272;4275) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 272 et 4275 sont premiers entre eux.
Donc la fraction272 4275
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a cueilli 108 pommes et 84 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
108 = 9 × 12, mais 84 = 9 × 9 + 3 : le reste n'est pas nul, 84 n'est pas divisible par 9.
On ne peut pas constituer 9 sacs (tous les poires ne seraient pas utilisés).
| 84 | 2 | 84 = 22 × 3 × 7 |
| 42 | 2 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 108 et 84 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 108 et 84.
108 = 22 × 33 et 84 = 22 × 3 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(108;84) = 22 × 3 = 12.
On pourra constituer au maximum 12 sacs.
108 ÷ 12 = 9 et 84 ÷ 12 = 7.
Chaque sac contiendra 9 pommes et 7 poires.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 343 s et Yanis en 98 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
343 = 1 × 343 : Inès a fait exactement 1 tour et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
343 = 98 × 3 + 49 : le reste n'est pas nul, 343 n'est pas un multiple de 98.
Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 3 tours et 49 s.
| 343 | 7 | 343 = 73 |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 98 | 2 | 98 = 2 × 72 |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Inès passe sur la ligne de départ toutes les 343 s (aux multiples de 343), et Yanis toutes les 98 s (aux multiples de 98). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 343 et 98 : la première fois, au bout du PPCM de 343 et 98.
343 = 73 et 98 = 2 × 72
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(343;98) = 2 × 73 = 686.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 686 s, soit 11 min 26 s.
686 ÷ 343 = 2 et 686 ÷ 98 = 7.
Inès aura fait 2 tours et Yanis 7 tours.
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