site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 112 et 15525 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   112 / 15525

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 536 et 369.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 536 et 369.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   536 / 369

À la fin d'une collecte, une association a récolté 84 tee-shirts et 63 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.

• Tous les lots contiennent le même nombre de tee-shirts.
• Tous les lots contiennent le même nombre de pantalons.
• Tous les vêtements sont distribués.

1. Peut-on constituer 28 lots ?
2. Décompose 84 et 63 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 18 minutes et ceux de la ligne B toutes les 24 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 24. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 18 et 24 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

On effectue la division euclidienne de 327 par 8 :

• 327 = 8 × 40 + 7 et 7 < 8
• 327 = 320 + 7
• donc 320 < 327 < 328 (320 + 8)

On effectue la division euclidienne de 625 par 8 :

• 625 = 8 × 78 + 1 et 1 < 8
• 625 = 624 + 1
• donc 624 < 625 < 632 (624 + 8)

1. Décompositions :
   112 = 2⁴ × 7
   15525 = 3³ × 5² × 23
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(112;15525) = 2⁴ × 3³ × 5² × 7 × 23 = 1738800
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(112,15525) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 112 et 15525 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   112 / 15525

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   536 : { 1; 2; 4; 8; 67; 134; 268; 536 }
   369 : { 1; 3; 9; 41; 123; 369 }

2. Les diviseurs communs de 536 et 369 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 536 et 369 est :

   PGCD(536;369) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 536 et 369 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   536 / 369

   est irréductible.

À la fin d'une collecte, une association a récolté 84 tee-shirts et 63 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.

• Tous les lots contiennent le même nombre de tee-shirts.
• Tous les lots contiennent le même nombre de pantalons.
• Tous les vêtements sont distribués.

1. Peut-on constituer 28 lots ?
2. Décompose 84 et 63 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

1. Nombre de lots :

   84 = 28 × 3, mais 63 = 28 × 2 + 7 : le reste n'est pas nul, 63 n'est pas divisible par 28.
   On ne peut pas constituer 28 lots (tous les pantalons ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 84 :

   84	2	84 = 22 × 3 × 7
   42	2
   21	3
   7	7
   1

   Décomposition de 63 :

   63	3	63 = 32 × 7
   21	3
   7	7
   1

3. Nombre maximal de lots :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 84 et 63 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 84 et 63.

   84 = 2² × 3 × 7 et 63 = 3² × 7
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(84;63) = 3 × 7 = 21.
   On pourra constituer au maximum 21 lots.

4. Composition de chaque lot :

   84 ÷ 21 = 4 et 63 ÷ 21 = 3.
   Chaque lot contiendra 4 tee-shirts et 3 pantalons.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 18 minutes et ceux de la ligne B toutes les 24 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 24. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 18 et 24 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

1. À 7 h 24 :

   De 6 h 30 à 7 h 24, il s'écoule 54 min, et 54 = 3 × 18 : c'est un multiple de 18, donc un bus de la ligne A part à 7 h 24.
   54 = 24 × 2 + 6 : le reste n'est pas nul, 54 n'est pas un multiple de 24.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 24.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 18 :

   18	2	18 = 2 × 32
   9	3
   3	3
   1

   Décomposition de 24 :

   24	2	24 = 23 × 3
   12	2
   6	2
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 18 min après 6 h 30, ceux de la ligne B aux multiples de 24 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 18 et 24 : la première fois, au bout du PPCM.

   18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(18;24) = 2³ × 3² = 72.
   Ils repartiront ensemble 72 min après 6 h 30, soit 1 h 12 min plus tard : à 7 h 42.

4. Nombre de tours :

   72 ÷ 18 = 4 et 72 ÷ 24 = 3.
   4 bus de la ligne A et 3 bus de la ligne B seront partis.