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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 364 et 412 par deux multiples consécutifs de 23.
Quel est le plus grand multiple de 18 inférieur à 157 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 211 ?
8050 1664
595 176
Un DJ a sélectionné 297 titres de rap et 189 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 30 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 25 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 364 et 412 par deux multiples consécutifs de 23.
On effectue la division euclidienne de 364 par 23 :
On effectue la division euclidienne de 412 par 23 :
Quel est le plus grand multiple de 18 inférieur à 157 ?
On effectue la division euclidienne de 157 par 18 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 211 ?
On effectue la division euclidienne de 211 par 26 :
| 8050 | 2 | 8050 = 2 × 52 × 7 × 23 |
| 4025 | 5 | |
| 805 | 5 | |
| 161 | 7 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 1664 | 2 | 1664 = 27 × 13 |
| 832 | 2 | |
| 416 | 2 | |
| 208 | 2 | |
| 104 | 2 | |
| 52 | 2 | |
| 26 | 2 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où8050 1664
=8050:2 1664:2
=4025 832
595 : { 1; 5; 7; 17; 35; 85; 119; 595 }
176 : { 1; 2; 4; 8; 11; 16; 22; 44; 88; 176 }
{ 1 }
PGCD(595;176) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 595 et 176 sont premiers entre eux.
Donc la fraction595 176
est irréductible.Un DJ a sélectionné 297 titres de rap et 189 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
297 = 3 × 99 et 189 = 3 × 63 : 297 et 189 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 playlists (99 titres de rap et 63 titres d'électro dans chaque playlist).
189 = 7 × 27, mais 297 = 7 × 42 + 3 : le reste n'est pas nul, 297 n'est pas divisible par 7.
On ne peut pas constituer 7 playlists (tous les titres de rap ne seraient pas utilisés).
| 297 | 3 | 297 = 33 × 11 |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 189 | 3 | 189 = 33 × 7 |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 297 et 189 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 297 et 189.
297 = 33 × 11 et 189 = 33 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(297;189) = 33 = 27.
On pourra constituer au maximum 27 playlists.
297 ÷ 27 = 11 et 189 ÷ 27 = 7.
Chaque playlist contiendra 11 titres de rap et 7 titres d'électro.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 30 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 25 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
De 7 h 15 à 8 h 15, il s'écoule 60 min, et 60 = 2 × 30 :
c'est un multiple de 30, donc un bus de la ligne A part à 8 h 15.
60 = 25 × 2 + 10 : le reste n'est pas nul, 60 n'est pas un multiple de 25.
Aucun bus de la ligne B ne part à 8 h 15.
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 25 | 5 | 25 = 52 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 30 min après 7 h 15, ceux de la ligne B aux multiples de 25 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 30 et 25 : la première fois, au bout du PPCM.
30 = 2 × 3 × 5 et 25 = 52
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(30;25) = 2 × 3 × 52 = 150.
Ils repartiront ensemble 150 min après 7 h 15, soit 2 h 30 min plus tard : à 9 h 45.
150 ÷ 30 = 5 et 150 ÷ 25 = 6.
5 bus de la ligne A et 6 bus de la ligne B seront partis.
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