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Celui qui, dans la vie, est parti de zéro pour n'arriver à rien, n'a de merci à dire à personne.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 760 et 784 par deux multiples consécutifs de 11.
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 356 ?
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 38 ?
8925 14094
7203 2200
Un DJ a sélectionné 90 titres de rap et 63 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Un engrenage est composé d'une roue A de 21 dents et d'une roue B de 28 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 760 et 784 par deux multiples consécutifs de 11.
On effectue la division euclidienne de 760 par 11 :
On effectue la division euclidienne de 784 par 11 :
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 356 ?
On effectue la division euclidienne de 356 par 15 :
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 38 ?
On effectue la division euclidienne de 38 par 3 :
| 8925 | 3 | 8925 = 3 × 52 × 7 × 17 |
| 2975 | 5 | |
| 595 | 5 | |
| 119 | 7 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 14094 | 2 | 14094 = 2 × 35 × 29 |
| 7047 | 3 | |
| 2349 | 3 | |
| 783 | 3 | |
| 261 | 3 | |
| 87 | 3 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où8925 14094
=8925:3 14094:3
=2975 4698
7203 : { 1; 3; 7; 21; 49; 147; 343; 1029; 2401; 7203 }
2200 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 11; 20; 22; 25; 40; 44; 50; 55; 88; 100; 110; 200; 220; 275; 440; 550; 1100; 2200 }
{ 1 }
PGCD(7203;2200) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 7203 et 2200 sont premiers entre eux.
Donc la fraction7203 2200
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un DJ a sélectionné 90 titres de rap et 63 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
63 = 7 × 9, mais 90 = 7 × 12 + 6 : le reste n'est pas nul, 90 n'est pas divisible par 7.
On ne peut pas constituer 7 playlists (tous les titres de rap ne seraient pas utilisés).
90 = 3 × 30 et 63 = 3 × 21 : 90 et 63 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 playlists (30 titres de rap et 21 titres d'électro dans chaque playlist).
| 90 | 2 | 90 = 2 × 32 × 5 |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 63 | 3 | 63 = 32 × 7 |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
{ 1; 3; 9 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 90 et 63 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 90 et 63.
Le plus grand des diviseurs communs est 9.
On pourra constituer au maximum 9 playlists.
90 ÷ 9 = 10 et 63 ÷ 9 = 7.
Chaque playlist contiendra 10 titres de rap et 7 titres d'électro.
Un engrenage est composé d'une roue A de 21 dents et d'une roue B de 28 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 3 × 21 = 63 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 63 = 28 × 2 + 7 : le reste n'est pas nul, 63 n'est pas un multiple de 28.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 21 | 3 | 21 = 3 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 28 | 2 | 28 = 22 × 7 |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 21 et 28 : la première fois, au PPCM.
21 = 3 × 7 et 28 = 22 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(21;28) = 22 × 3 × 7 = 84.
Il passe 84 dents au point de contact, soit 84 ÷ 21 = 4 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 4 tours de la roue A.
84 ÷ 28 = 3.
La roue B aura effectué 3 tours.
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