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J'aime bien les histoires qui finissent mal. Ce sont les plus belles car ce sont celles qui ressemblent le plus à la vie.
Pierre Desproges
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 814 et 550 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 181 ?
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 65 ?
2457 1088
78 549
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 72 garçons et les 198 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 207 s et Hugo en 184 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 814 et 550 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 814 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 550 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 181 ?
On effectue la division euclidienne de 181 par 17 :
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 65 ?
On effectue la division euclidienne de 65 par 6 :
| 2457 | 3 | 2457 = 33 × 7 × 13 |
| 819 | 3 | |
| 273 | 3 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 1088 | 2 | 1088 = 26 × 17 |
| 544 | 2 | |
| 272 | 2 | |
| 136 | 2 | |
| 68 | 2 | |
| 34 | 2 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
2457 1088
est irréductible.78 : { 1; 2; 3; 6; 13; 26; 39; 78 }
549 : { 1; 3; 9; 61; 183; 549 }
{ 1; 3 }
PGCD(78;549) = 3
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où78 549
=78:3 549:3
=26 183
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 72 garçons et les 198 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
72 = 8 × 9, mais 198 = 8 × 24 + 6 : le reste n'est pas nul, 198 n'est pas divisible par 8.
On ne peut pas constituer 8 groupes (tous les filles ne seraient pas utilisés).
| 72 | 2 | 72 = 23 × 32 |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 198 | 2 | 198 = 2 × 32 × 11 |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 72 et 198 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 72 et 198.
72 = 23 × 32 et 198 = 2 × 32 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(72;198) = 2 × 32 = 18.
On pourra constituer au maximum 18 groupes.
72 ÷ 18 = 4 et 198 ÷ 18 = 11.
Chaque groupe contiendra 4 garçons et 11 filles.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 207 s et Hugo en 184 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
1242 = 6 × 207 : Léa a fait exactement 6 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
1242 = 184 × 6 + 138 : le reste n'est pas nul, 1242 n'est pas un multiple de 184.
Ce n'est pas le cas d'Hugo, qui a fait 6 tours et 138 s.
| 207 | 3 | 207 = 32 × 23 |
| 69 | 3 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 184 | 2 | 184 = 23 × 23 |
| 92 | 2 | |
| 46 | 2 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Léa passe sur la ligne de départ toutes les 207 s (aux multiples de 207), et Hugo toutes les 184 s (aux multiples de 184). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 207 et 184 : la première fois, au bout du PPCM de 207 et 184.
207 = 32 × 23 et 184 = 23 × 23
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(207;184) = 23 × 32 × 23 = 1656.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1656 s, soit 27 min 36 s.
1656 ÷ 207 = 8 et 1656 ÷ 184 = 9.
Léa aura fait 8 tours et Hugo 9 tours.
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