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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 375 et 239 par deux multiples consécutifs de 6.
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 333 ?
Quel est le plus petit multiple de 5 supérieur à 61 ?
6804 1584
1053 3200
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 231 bonbons à la fraise et de 84 bonbons au caramel.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 252 s et Yanis en 180 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 375 et 239 par deux multiples consécutifs de 6.
On effectue la division euclidienne de 375 par 6 :
On effectue la division euclidienne de 239 par 6 :
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 333 ?
On effectue la division euclidienne de 333 par 27 :
Quel est le plus petit multiple de 5 supérieur à 61 ?
On effectue la division euclidienne de 61 par 5 :
| 6804 | 2 | 6804 = 22 × 35 × 7 |
| 3402 | 2 | |
| 1701 | 3 | |
| 567 | 3 | |
| 189 | 3 | |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 1584 | 2 | 1584 = 24 × 32 × 11 |
| 792 | 2 | |
| 396 | 2 | |
| 198 | 2 | |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où6804 1584
=6804:36 1584:36
=189 44
1053 : { 1; 3; 9; 13; 27; 39; 81; 117; 351; 1053 }
3200 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 25; 32; 40; 50; 64; 80; 100; 128; 160; 200; 320; 400; 640; 800; 1600; 3200 }
{ 1 }
PGCD(1053;3200) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1053 et 3200 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1053 3200
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 231 bonbons à la fraise et de 84 bonbons au caramel.
231 = 11 × 21, mais 84 = 11 × 7 + 7 : le reste n'est pas nul, 84 n'est pas divisible par 11.
On ne peut pas constituer 11 sachets (tous les bonbons au caramel ne seraient pas utilisés).
231 = 7 × 33 et 84 = 7 × 12 : 231 et 84 sont tous les deux divisibles par 7.
On peut constituer 7 sachets (33 bonbons à la fraise et 12 bonbons au caramel dans chaque sachet).
| 231 | 3 | 231 = 3 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 84 | 2 | 84 = 22 × 3 × 7 |
| 42 | 2 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
{ 1; 3; 7; 21 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 231 et 84 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 231 et 84.
Le plus grand des diviseurs communs est 21.
On pourra constituer au maximum 21 sachets.
231 ÷ 21 = 11 et 84 ÷ 21 = 4.
Chaque sachet contiendra 11 bonbons à la fraise et 4 bonbons au caramel.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 252 s et Yanis en 180 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
504 = 2 × 252 : Inès a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
504 = 180 × 2 + 144 : le reste n'est pas nul, 504 n'est pas un multiple de 180.
Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 2 tours et 144 s.
| 252 | 2 | 252 = 22 × 32 × 7 |
| 126 | 2 | |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 180 | 2 | 180 = 22 × 32 × 5 |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Inès passe sur la ligne de départ toutes les 252 s (aux multiples de 252), et Yanis toutes les 180 s (aux multiples de 180). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 252 et 180 : la première fois, au bout du PPCM de 252 et 180.
252 = 22 × 32 × 7 et 180 = 22 × 32 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(252;180) = 22 × 32 × 5 × 7 = 1260.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1260 s, soit 21 min.
1260 ÷ 252 = 5 et 1260 ÷ 180 = 7.
Inès aura fait 5 tours et Yanis 7 tours.
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