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L'avantage d'être intelligent, c'est qu'on peut toujours faire l'imbécile, alors que l'inverse est totalement impossible...
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 144 et 279 par deux multiples consécutifs de 23.
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 106 ?
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 283 ?
1408 2744
1000 4851
La responsable d'une animalerie a reçu 288 poissons rouges et 128 poissons-clowns. Elle veut les vendre en lots identiques.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 45 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 18 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 00.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 144 et 279 par deux multiples consécutifs de 23.
On effectue la division euclidienne de 144 par 23 :
On effectue la division euclidienne de 279 par 23 :
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 106 ?
On effectue la division euclidienne de 106 par 15 :
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 283 ?
On effectue la division euclidienne de 283 par 23 :
| 1408 | 2 | 1408 = 27 × 11 |
| 704 | 2 | |
| 352 | 2 | |
| 176 | 2 | |
| 88 | 2 | |
| 44 | 2 | |
| 22 | 2 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 2744 | 2 | 2744 = 23 × 73 |
| 1372 | 2 | |
| 686 | 2 | |
| 343 | 7 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1408 2744
=1408:8 2744:8
=176 343
1000 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100; 125; 200; 250; 500; 1000 }
4851 : { 1; 3; 7; 9; 11; 21; 33; 49; 63; 77; 99; 147; 231; 441; 539; 693; 1617; 4851 }
{ 1 }
PGCD(1000;4851) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1000 et 4851 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1000 4851
est irréductible.La responsable d'une animalerie a reçu 288 poissons rouges et 128 poissons-clowns. Elle veut les vendre en lots identiques.
288 = 8 × 36 et 128 = 8 × 16 : 288 et 128 sont tous les deux divisibles par 8.
On peut constituer 8 lots (36 poissons rouges et 16 poissons-clowns dans chaque lot).
288 = 24 × 12, mais 128 = 24 × 5 + 8 : le reste n'est pas nul, 128 n'est pas divisible par 24.
On ne peut pas constituer 24 lots (tous les poissons-clowns ne seraient pas utilisés).
| 288 | 2 | 288 = 25 × 32 |
| 144 | 2 | |
| 72 | 2 | |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 128 | 2 | 128 = 27 |
| 64 | 2 | |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 8; 16; 32 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 288 et 128 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 288 et 128.
Le plus grand des diviseurs communs est 32.
On pourra constituer au maximum 32 lots.
288 ÷ 32 = 9 et 128 ÷ 32 = 4.
Chaque lot contiendra 9 poissons rouges et 4 poissons-clowns.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 45 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 18 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 00.
De 6 h 00 à 6 h 45, il s'écoule 45 min, et 45 = 1 × 45 :
c'est un multiple de 45, donc un bus de la ligne A part à 6 h 45.
45 = 18 × 2 + 9 : le reste n'est pas nul, 45 n'est pas un multiple de 18.
Aucun bus de la ligne B ne part à 6 h 45.
| 45 | 3 | 45 = 32 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 18 | 2 | 18 = 2 × 32 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 45 min après 6 h 00, ceux de la ligne B aux multiples de 18 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 45 et 18 : la première fois, au bout du PPCM.
45 = 32 × 5 et 18 = 2 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(45;18) = 2 × 32 × 5 = 90.
Ils repartiront ensemble 90 min après 6 h 00, soit 1 h 30 min plus tard : à 7 h 30.
90 ÷ 45 = 2 et 90 ÷ 18 = 5.
2 bus de la ligne A et 5 bus de la ligne B seront partis.
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