site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 7047 et 1216 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   7047 / 1216

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 539 et 912.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 539 et 912.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   539 / 912

Un collectionneur de coquillages possède 140 cônes et 154 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de cônes.
• Tous les lots contiennent le même nombre de porcelaines.
• Tous les coquillages sont vendus.

1. Peut-on constituer 7 lots ? Et Peut-on constituer 11 lots ?
2. Décompose 140 et 154 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 40 secondes, le phare B toutes les 30 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 80 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 40 et 30 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

On effectue la division euclidienne de 633 par 7 :

• 633 = 7 × 90 + 3 et 3 < 7
• 633 = 630 + 3
• donc 630 < 633 < 637 (630 + 7)

On effectue la division euclidienne de 54 par 7 :

• 54 = 7 × 7 + 5 et 5 < 7
• 54 = 49 + 5
• donc 49 < 54 < 56 (49 + 7)

1. Décompositions :
   7047 = 3⁵ × 29
   1216 = 2⁶ × 19
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(7047;1216) = 2⁶ × 3⁵ × 19 × 29 = 8569152
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(7047,1216) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 7047 et 1216 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   7047 / 1216

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   539 : { 1; 7; 11; 49; 77; 539 }
   912 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 19; 24; 38; 48; 57; 76; 114; 152; 228; 304; 456; 912 }

2. Les diviseurs communs de 539 et 912 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 539 et 912 est :

   PGCD(539;912) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 539 et 912 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   539 / 912

   est irréductible.

Un collectionneur de coquillages possède 140 cônes et 154 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de cônes.
• Tous les lots contiennent le même nombre de porcelaines.
• Tous les coquillages sont vendus.

1. Peut-on constituer 7 lots ? Et Peut-on constituer 11 lots ?
2. Décompose 140 et 154 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

1. Nombre de lots :

   140 = 7 × 20 et 154 = 7 × 22 : 140 et 154 sont tous les deux divisibles par 7.
   On peut constituer 7 lots (20 cônes et 22 porcelaines dans chaque lot).

   154 = 11 × 14, mais 140 = 11 × 12 + 8 : le reste n'est pas nul, 140 n'est pas divisible par 11.
   On ne peut pas constituer 11 lots (tous les cônes ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 140 :

   140	2	140 = 22 × 5 × 7
   70	2
   35	5
   7	7
   1

   Décomposition de 154 :

   154	2	154 = 2 × 7 × 11
   77	7
   11	11
   1

3. Nombre maximal de lots :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 140 et 154 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 140 et 154.

   140 = 2² × 5 × 7 et 154 = 2 × 7 × 11
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(140;154) = 2 × 7 = 14.
   On pourra constituer au maximum 14 lots.

4. Composition de chaque lot :

   140 ÷ 14 = 10 et 154 ÷ 14 = 11.
   Chaque lot contiendra 10 cônes et 11 porcelaines.

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 40 secondes, le phare B toutes les 30 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 80 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 40 et 30 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

1. À 80 s :

   80 = 2 × 40 : c'est un multiple de 40, le phare A émet donc un éclat (son 2^e depuis minuit).
   80 = 30 × 2 + 20 : le reste n'est pas nul, 80 n'est pas un multiple de 30.
   Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 40 :

   40	2	40 = 23 × 5
   20	2
   10	2
   5	5
   1

   Décomposition de 30 :

   30	2	30 = 2 × 3 × 5
   15	3
   5	5
   1

3. Première rencontre :

   Le phare A émet un éclat aux multiples de 40 s, le phare B aux multiples de 30 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 40 et 30 : la première fois, au bout du PPCM.

   40 = 2³ × 5 et 30 = 2 × 3 × 5
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(40;30) = 2³ × 3 × 5 = 120.
   Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 120 s, soit 2 min.

4. Nombre de tours :

   120 ÷ 40 = 3 et 120 ÷ 30 = 4.
   Le phare A aura émis 3 éclats et le phare B 4 éclats.