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Celui qui peut, agit. Celui qui ne peut pas, enseigne.
George Bernard Shaw (sur mon T shirt!)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 855 et 63 par deux multiples consécutifs de 18.
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 239 ?
Quel est le plus petit multiple de 19 supérieur à 298 ?
10773 13312
370 784
Une artisane dispose de 330 perles rouges et de 240 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.
Un engrenage est composé d'une roue A de 54 dents et d'une roue B de 45 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 855 et 63 par deux multiples consécutifs de 18.
On effectue la division euclidienne de 855 par 18 :
On effectue la division euclidienne de 63 par 18 :
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 239 ?
On effectue la division euclidienne de 239 par 27 :
Quel est le plus petit multiple de 19 supérieur à 298 ?
On effectue la division euclidienne de 298 par 19 :
| 10773 | 3 | 10773 = 34 × 7 × 19 |
| 3591 | 3 | |
| 1197 | 3 | |
| 399 | 3 | |
| 133 | 7 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 13312 | 2 | 13312 = 210 × 13 |
| 6656 | 2 | |
| 3328 | 2 | |
| 1664 | 2 | |
| 832 | 2 | |
| 416 | 2 | |
| 208 | 2 | |
| 104 | 2 | |
| 52 | 2 | |
| 26 | 2 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
10773 13312
est irréductible.370 : { 1; 2; 5; 10; 37; 74; 185; 370 }
784 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 16; 28; 49; 56; 98; 112; 196; 392; 784 }
{ 1; 2 }
PGCD(370;784) = 2
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où370 784
=370:2 784:2
=185 392
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Une artisane dispose de 330 perles rouges et de 240 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.
330 = 22 × 15, mais 240 = 22 × 10 + 20 : le reste n'est pas nul, 240 n'est pas divisible par 22.
On ne peut pas constituer 22 colliers (tous les perles blanches ne seraient pas utilisés).
| 240 | 2 | 240 = 24 × 3 × 5 |
| 120 | 2 | |
| 60 | 2 | |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de colliers doit diviser à la fois 330 et 240 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de colliers est donc le PGCD de 330 et 240.
330 = 2 × 3 × 5 × 11 et 240 = 24 × 3 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(330;240) = 2 × 3 × 5 = 30.
On pourra constituer au maximum 30 colliers.
330 ÷ 30 = 11 et 240 ÷ 30 = 8.
Chaque collier contiendra 11 perles rouges et 8 perles blanches.
Un engrenage est composé d'une roue A de 54 dents et d'une roue B de 45 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 3 × 54 = 162 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 162 = 45 × 3 + 27 : le reste n'est pas nul, 162 n'est pas un multiple de 45.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 54 | 2 | 54 = 2 × 33 |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 45 | 3 | 45 = 32 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 54 et 45 : la première fois, au PPCM.
54 = 2 × 33 et 45 = 32 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(54;45) = 2 × 33 × 5 = 270.
Il passe 270 dents au point de contact, soit 270 ÷ 54 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
270 ÷ 45 = 6.
La roue B aura effectué 6 tours.
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