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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 780 et 479 par deux multiples consécutifs de 18.
Quel est le plus grand multiple de 9 inférieur à 87 ?
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 212 ?
13312 243
14848 13125
Un DJ a sélectionné 162 titres de rap et 126 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Un engrenage est composé d'une roue A de 16 dents et d'une roue B de 20 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 780 et 479 par deux multiples consécutifs de 18.
On effectue la division euclidienne de 780 par 18 :
On effectue la division euclidienne de 479 par 18 :
Quel est le plus grand multiple de 9 inférieur à 87 ?
On effectue la division euclidienne de 87 par 9 :
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 212 ?
On effectue la division euclidienne de 212 par 27 :
| 13312 | 2 | 13312 = 210 × 13 |
| 6656 | 2 | |
| 3328 | 2 | |
| 1664 | 2 | |
| 832 | 2 | |
| 416 | 2 | |
| 208 | 2 | |
| 104 | 2 | |
| 52 | 2 | |
| 26 | 2 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 243 | 3 | 243 = 35 |
| 81 | 3 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
13312 243
est irréductible.14848 : { 1; 2; 4; 8; 16; 29; 32; 58; 64; 116; 128; 232; 256; 464; 512; 928; 1856; 3712; 7424; 14848 }
13125 : { 1; 3; 5; 7; 15; 21; 25; 35; 75; 105; 125; 175; 375; 525; 625; 875; 1875; 2625; 4375; 13125 }
{ 1 }
PGCD(14848;13125) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 14848 et 13125 sont premiers entre eux.
Donc la fraction14848 13125
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un DJ a sélectionné 162 titres de rap et 126 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
162 = 6 × 27 et 126 = 6 × 21 : 162 et 126 sont tous les deux divisibles par 6.
On peut constituer 6 playlists (27 titres de rap et 21 titres d'électro dans chaque playlist).
126 = 14 × 9, mais 162 = 14 × 11 + 8 : le reste n'est pas nul, 162 n'est pas divisible par 14.
On ne peut pas constituer 14 playlists (tous les titres de rap ne seraient pas utilisés).
| 126 | 2 | 126 = 2 × 32 × 7 |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 162 et 126 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 162 et 126.
162 = 2 × 34 et 126 = 2 × 32 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(162;126) = 2 × 32 = 18.
On pourra constituer au maximum 18 playlists.
162 ÷ 18 = 9 et 126 ÷ 18 = 7.
Chaque playlist contiendra 9 titres de rap et 7 titres d'électro.
Un engrenage est composé d'une roue A de 16 dents et d'une roue B de 20 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 16 = 32 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 32 = 20 × 1 + 12 : le reste n'est pas nul, 32 n'est pas un multiple de 20.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 16 | 2 | 16 = 24 |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 20 | 2 | 20 = 22 × 5 |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 16 et 20 : la première fois, au PPCM.
16 = 24 et 20 = 22 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(16;20) = 24 × 5 = 80.
Il passe 80 dents au point de contact, soit 80 ÷ 16 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
80 ÷ 20 = 4.
La roue B aura effectué 4 tours.
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