site2wouf.fr : La tournée du jour

Les gens qui ne rient jamais ne sont pas des gens sérieux.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718abcdeABCDEFGHJKLMN
Le facteur part de la poste, doit emprunter chaque rue exactement une fois puis revenir à la poste déposer sa sacoche.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① quai aux Fleurs⑩ passage du MarchéⒶ Rond-point du Ponta la poste
② rue Basse⑪ allée des PeupliersⒷ Placette des Ormesb la bibliothèque
③ rue Verte⑫ chemin de RondeⒸ Carrefour des Tilleulsc le cimetière
④ rue des Jardins⑬ boulevard du ParcⒹ Carrefour du Moulind la boulangerie
⑤ rue Haute⑭ rue de la PosteⒺ Place des Tanneurse la gendarmerie
⑥ rue de la Mairie⑮ rue du StadeⒻ Rond-point du Stade
⑦ rue du Moulin⑯ chemin du LavoirⒼ Rond-point des Vaches
⑧ venelle du Chat⑰ sentier des PrésⒽ Place du Marché
⑨ rue Neuve⑱ rue du FourⒿ Place aux Herbes
Ⓚ Coin du Lavoir
Ⓛ Fontaine Notre-Dame
Ⓜ Place du Vieux-Puits
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée et revenir à la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718abcdeABCDEFGHJKLMN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLM
Nombre de rues424426422222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 36 = 2 × 18, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en C, et le facteur doit y revenir. Ce carrefour est donc à la fois le départ et l'arrivée : le facteur en repart aussitôt arrivé, il le traverse comme les autres. Tous les carrefours, celui de la poste compris, doivent donc être pairs.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient à la poste.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour des Tilleuls (C), prend la rue Basse ② vers le nord-est et atteint Rond-point du Pont (A).
  2. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ①, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (B).
  3. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  4. Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  5. Il tourne à gauche dans la rue Verte ③, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  6. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ④, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  7. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  8. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑨, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  9. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  10. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑩, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (E).
  11. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑪, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (H).
  12. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (F).
  13. Il prend dans la rue de la Poste ⑭, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (L).
  14. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  15. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑯, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (M).
  16. Il prend dans la rue du Four ⑱, vers le nord, jusqu'à Coin du Lavoir (K).
  17. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (J).
  18. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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