site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
dimanche 11 janvier 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011abcdABCDEFGHN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Neuve⑦ rue HauteⒶ Place des Tanneursa la poste
② rue des Écoles⑧ rue VerteⒷ Coin du Lavoirb le stade
③ rue du Four⑨ venelle du ChatⒸ Rond-point du Pontc l'église
④ chemin du Lavoir⑩ rue du StadeⒹ Rond-point de la Gared la salle des fêtes
⑤ impasse du Vieux-Four⑪ boulevard du ParcⒺ Carrefour de l'Hôpital
⑥ rue de l'ÉgliseⒻ Fontaine Notre-Dame
Ⓖ Place du Vieux-Puits
Ⓗ Carrefour des Tilleuls
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011abcdABCDEFGHN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGH
Nombre de rues22434214
Paritépairpairpairimpairpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 × 11, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, G — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en C, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et G : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en C, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à G. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Rond-point de la Gare (D), prend le chemin du Lavoir ④ vers l'ouest et atteint Rond-point du Pont (C).
  2. Il tourne à droite dans la rue du Four ③, vers le nord, jusqu'à Coin du Lavoir (B).
  3. Il tourne à droite dans la rue Neuve ①, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (A).
  4. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  5. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  6. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑧, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  8. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑨, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (F).
  9. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
  10. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (C).
  11. Il tourne à gauche dans l'impasse du Vieux-Four ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (G).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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