site2wouf.fr : La tournée du jour

Je songe parfois à la quantité de boeuf qu'il faudrait pour faire du bouillon avec le Lac de Genève.

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Fiche n°
jeudi 15 janvier 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Écoles⑨ chemin du LavoirS0 Place aux Herbesa la poste
② allée des Peupliers⑩ quai aux FleursS1 Rond-point des Vachesb la mairie
③ rue du Stade⑪ boulevard du ParcS2 Carrefour de l'Hôpitalc l'école
④ rue Neuve⑫ rue VerteS3 Carrefour des Tilleulsd la pharmacie
⑤ avenue de la Gare⑬ rue du PontS4 Carrefour du Lavoir
⑥ venelle du Chat⑭ rue du MoulinS5 Placette des Ormes
⑦ allée des Tilleuls⑮ rue BasseS6 Coin du Lavoir
⑧ rue Pasteur⑯ rue du PuitsS7 Rond-point de la Gare
S8 Place du Vieux-Puits
S9 Place Sainte-Croix
S10 Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10
Nombre de rues24444224222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S1, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point des Vaches (S1), prend la rue des Écoles ① vers l'est et atteint Place aux Herbes (S0).
  2. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S3).
  3. Il tourne à droite dans la rue Neuve ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S1).
  4. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S2).
  5. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S4).
  6. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S3).
  7. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (S6).
  8. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑬, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S8).
  9. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S7).
  10. Il continue tout droit dans la rue Verte ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (S5).
  11. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑦, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S2).
  12. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑧, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix (S9).
  13. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑯, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S10).
  14. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S7).
  15. Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ⑪, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S4).
  16. Il continue tout droit dans l'avenue de la Gare ⑤, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (S1).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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