site2wouf.fr : La tournée du jour

L'avantage d'être intelligent, c'est qu'on peut toujours faire l'imbécile, alors que l'inverse est totalement impossible...

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617abcdeABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin de Ronde⑩ rue VerteⒶ Rond-point de la Garea la poste
② rue des Écoles⑪ rue du MoulinⒷ Place du Vieux-Puitsb l'église
③ chemin des Vignes⑫ rue PasteurⒸ Carrefour de l'Hôpitalc la boulangerie
④ sentier des Prés⑬ chemin CreuxⒹ Placette des Ormesd la pharmacie
⑤ venelle du Chat⑭ avenue de la GareⒺ Rond-point des Vachese le cimetière
⑥ rue des Jardins⑮ rue des LilasⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ rue de la Poste⑯ chemin du LavoirⒼ Carrefour des Quatre-Chemins
⑧ rue de la Mairie⑰ rue NeuveⒽ Place de l'Église
⑨ allée des PeupliersⒿ Place de la Fontaine
Ⓚ Fontaine Notre-Dame
Ⓛ Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617abcdeABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues32526442222
Paritéimpairpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 34 = 2 × 17, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, C — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et C : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en E, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à C. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Rond-point de la Gare (A), prend le chemin de Ronde ① vers l'ouest et atteint Place du Vieux-Puits (B).
  2. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ④, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  3. Il prend dans le chemin des Vignes ③, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (A).
  4. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ②, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (C).
  5. Il continue tout droit dans la venelle du Chat ⑤, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (D).
  6. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (C).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  9. Il continue tout droit dans la rue du Moulin ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (J).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑰, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché (L).
  11. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑫, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  12. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑩, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  13. Il continue tout droit dans le chemin Creux ⑬, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  14. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑭, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (K).
  15. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑯, vers le nord-ouest, jusqu'à Place de l'Église (H).
  16. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑮, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  17. Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ⑧, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (C).

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