site2wouf.fr : La tournée du jour

Ce n'est pas parce qu'en hiver on dit «fermez la porte, il fait froid dehors», qu'il fait moins froid dehors quand la porte est fermée.

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Fiche n°
dimanche 4 octobre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcdABCDEFGHIJN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① passage du Marché⑨ rue du FourⒶ Carrefour Saint-Rocha la poste
② rue du Stade⑩ allée des TilleulsⒷ Place Sainte-Croixb la bibliothèque
③ rue Neuve⑪ rue des JardinsⒸ Rond-point des Vachesc la mairie
④ quai aux Fleurs⑫ rue du PuitsⒹ Place aux Herbesd la salle des fêtes
⑤ boulevard du Parc⑬ chemin des VignesⒺ Rond-point de la Gare
⑥ rue des Lilas⑭ rue BasseⒻ Place de l'Église
⑦ rue du Pont⑮ rue des ÉcolesⒼ Carrefour de la Mairie
⑧ rue de la PosteⒽ Rond-point de la Poste
Ⓘ Place du Vieux-Puits
Ⓙ Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHIJ
Nombre de rues3242623422
Paritéimpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, G — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en G, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, A et G, et la poste est justement sur l'un des deux (G). Il part donc de la poste et termine en A, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour de la Mairie (G), prend la rue des Lilas ⑥ vers le nord-est et atteint Rond-point des Vaches (C).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (A).
  3. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ①, vers le sud-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (B).
  4. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ④, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (E).
  5. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑤, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  6. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑦, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (I).
  7. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  8. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑪, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (E).
  9. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (D).
  10. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑨, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église (F).
  12. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  13. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  14. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (E).
  15. Il tourne à droite dans la rue Neuve ③, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (A).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en A ou en G : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.

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