site2wouf.fr : La tournée du jour

J'ai essayé de passer ma vie à comprendre pourquoi la haute culture n'a pas pu enrayer la barbarie.

George Steiner

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Fiche n°
mercredi 1 avril 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112abcdeABCDEFGHIN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Écoles⑦ allée des TilleulsⒶ Placette des Ormesa la poste
② rue des Jardins⑧ rue NeuveⒷ Place Sainte-Croixb la mairie
③ allée des Peupliers⑨ sentier des PrésⒸ Rond-point de la Postec la boulangerie
④ rue des Lilas⑩ impasse Sainte-AnneⒹ Fontaine Notre-Damed le gymnase
⑤ rue du Four⑪ venelle du ChatⒺ Carrefour des Quatre-Cheminse l'école
⑥ rue du Moulin⑫ rue du PuitsⒻ Place de la Fontaine
Ⓖ Place des Tanneurs
Ⓗ Coin du Lavoir
Ⓘ Carrefour du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112abcdeABCDEFGHIN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHI
Nombre de rues226242213
Paritépairpairpairpairpairpairpairimpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 × 12, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : H, I — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en C, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, H et I : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en C, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de H à I. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de H :
  1. Il part de Coin du Lavoir (H), prend l'impasse Sainte-Anne ⑩ vers le nord et atteint Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  2. Il continue tout droit dans la rue des Jardins ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (A).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ①, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (B).
  4. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ③, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  5. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ④, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (D).
  6. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑨, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (G).
  7. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  8. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑤, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  9. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (I).
  10. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (C).
  11. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑥, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (F).
  12. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (I).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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