En fait l'important ne serait pas de réussir sa vie, mais de rater sa mort.
Magic 500 n'est que le jeu où l'on devine un nombre, après essais successifs (trop grand, trop petit...)
Développé par les membres de Microloges, le club d'informatique de Beaumetz les loges, Magic 500 présente l'interêt d'offrir des sources quickbasic qui peuvent servir d'exemples aux débutants...
Le fichier principal:
DECLARE SUB jeu (moinsbon!) DECLARE SUB regle () DECLARE SUB beethov () DECLARE SUB init (e$) DECLARE SUB texte (a$, li!, co!, couleur!, t$) DECLARE SUB espace (w!) DECLARE SUB elise () CONST nbnb = 5 'nb de nb à trouver CONST nbch = 3 'nb de chiffre à trouver CONST nbenr = 30 TYPE sov chnom AS STRING * 20 chnbes AS INTEGER END TYPE DIM joueur AS sov joueur.chnom = "Adam" ' Page de garde... '__________________________________________________ DO WIDTH 40, 25 CLS texte "MICRoLoGES", 12, 5, 3, "non" elise texte "PRESENTE:", 14, 10, 4, "oui" CLS texte " M A G I C 5 0 0", 12, 1, 5, "non" SLEEP 2 '_______________________________________________ 'page 2 WIDTH 80, 50 CLS OPEN "score.wou" FOR RANDOM AS #1 LEN = LEN(joueur) i = 1 texte "MEILLEURS SCORES", 1, 25, 2, "non" texte "NOM", 5, 15, 3, "non" texte "ESSAIS", 5, 50, 3, "non" max = LOF(1) / LEN(joueur) IF max > nbenr THEN max = nbenr FOR i = 1 TO max GET #1, i, joueur LOCATE 7 + i, 2 COLOR 1 PRINT i LOCATE 7 + i, 15 PRINT joueur.chnom LOCATE 7 + i, 50 COLOR 5 PRINT joueur.chnbes NEXT CLOSE #1 moinsbon = joueur.chnbes IF moinsbon = 0 OR max < nbenr THEN moinsbon = 9999 LOCATE 50, 35 COLOR 2 PRINT "J"; COLOR 1 PRINT "ouer/"; COLOR 2 PRINT "R"; COLOR 1 PRINT "ègles/"; COLOR 2 PRINT "Q"; COLOR 1 PRINT "uitter"; DO init e$ 'on initialise la liste de nb aleatoires LOOP UNTIL INSTR("jJrRqQ", e$) > 0 AND e$ <> "" SELECT CASE UCASE$(e$) CASE "J" jeu moinsbon CASE "Q" fin$ = "oui" CASE "R" regle END SELECT LOOP UNTIL fin$ = "oui" SUB jeu (moinsbon) DIM joueur AS sov DIM j AS sov CLS WIDTH 80, 50 BEEP FOR no = 1 TO nbnb nbcach = INT(RND * 9 * 10 ^ (nbch - 1)) + 10 ^ (nbch - 1) DO essai = essai + 1 PRINT COLOR 3 PRINT "Encore "; nbnb - no + 1; "nombre"; IF nbnb - no + 1 > 1 THEN PRINT ("s"); PRINT " ...trouver. "; COLOR 3 PRINT " Essai nø "; COLOR 4 PRINT essai; COLOR 3 PRINT " > "; t = 0 FOR y = 1 TO nbch t$ = "" DO t$ = INKEY$ LOOP UNTIL INSTR("0123456789q", t$) > 0 AND t$ <> "" IF t$ = "q" THEN STOP PRINT t$; t = t * 10 + VAL(t$) t$ = "" NEXT y IF t > nbcach THEN PRINT " trop grand " IF t < nbcach THEN PRINT " trop petit " LOOP UNTIL t = nbcach COLOR 4 PRINT " BRAVO !" IF no <nbnb THEN elise ELSE beethov espace (5) NEXT no PRINT " Mission accomplie !" SLEEP 3 ' ici on regarde le score et on le sauve si il est bon IF essai < moinsbon THEN PRINT " Bravo ! Vous entrez dans le top "; nbenr PRINT BEEP INPUT "Entrez votre nom : "; nom$ OPEN "score.new" FOR RANDOM AS #2 LEN = LEN(joueur) OPEN "score.wouf" FOR RANDOM AS #1 LEN = LEN(joueur) ok$ = "non" i2 = 0 max = LOF(1) / LEN(joueur) IF max = 0 THEN ok$ = "oui" j.chnom = nom$ j.chnbes = essai i2 = i2 + 1 PUT #2, i2, j END IF FOR i = 1 TO max GET #1, i, joueur IF (essai < joueur.chnbes OR joueur.chnbes = 0) AND ok$ = "non" THEN ok$ = "oui" j.chnom = nom$ j.chnbes = essai i2 = i2 + 1 PUT #2, i2, j END IF i2 = i2 + 1 PUT #2, i2, joueur NEXT IF ok$ = "non" THEN ok$ = "oui" j.chnom = nom$ j.chnbes = essai i2 = i2 + 1 PUT #2, i2, j END IF CLOSE #2 CLOSE #1 KILL "score.wou" NAME "score.new" AS "score.wou" END IF END SUB SUB regle WIDTH 40, 25 CLS texte "Règles", 5, 10, 5, "non" texte "du jeu", 5, 23, 5, "oui" espace (5) COLOR 4 PRINT "Il s'agit de découvrir "; PRINT nbnb; PRINT " nombres cachés en dépensant" PRINT "le moins d'essais possibles." PRINT PRINT " Les nombres sont des entiers de "; nbch; " chiffres" PRINT PRINT " plus petit, ou plus grand" PRINT "seront mes seules indications" PRINT texte "BONNE CHANCE", 23, 12, 3, "oui" LOCATE 25, 10 COLOR 4 PRINT " presser une touche"; SLEEP END SUB
Et ce fichier externe, comme un "include"...
SUB beethov ECOUTE$ = "T180 o2 P2 P8 L8 GGG L2 E-" SUITE$ = "P24 P8 L8 FFF L2 D" PLAY ECOUTE$ + SUITE$ END SUB SUB elise PLAY ON lise$ = "o3 L8 E D+ E D+ E o2 B o3 D C L2 o2 A" PLAY "MB X" + VARPTR$(lise$) END SUB SUB espace (w) FOR i = 1 TO w PRINT NEXT END SUB SUB init (e$) DO e$ = INKEY$ z = z + 1 LOOP UNTIL e$ <> "" RANDOMIZE (z) END SUB SUB texte (a$, li, co, couleur, t$) LOCATE li, co COLOR couleur FOR i = 1 TO LEN(a$) PRINT (MID$(a$, i, 1)); " "; IF t$ = "oui" THEN SLEEP 1 NEXT END SUB
Quick Basic est téléchargeable: qb45fr.zip
Un autre exemple sur Wikipedia: Exemple de programme sous Qbasic
J'ai proposé à mes élèves de troisième, dans le devoir 12 de cette année scolaire (2024-2025) l’exercice suivant :
Exercice 2 (L’ utilisation d’un tableur est recommandée)
On donne le jeu suivant :
« Chacun des deux joueurs tire au hasard un nombre entier entre 1 et 100. Si les deux nombres
sont premiers entre eux, c’est le joueur A qui gagne, sinon, c’est le joueur B qui gagne. »
Le jeu est-il équitable ?
Mes objectifs pour cet exercice étaient nombreux :
On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1.
L'erreur la plus fréquente dans les copies corrigées est assez classique : beaucoup d'élèves confondent "nombres premiers" (des nombres divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes) et "nombres premiers entre eux" (voir la définition dans l'encadré ci-dessus).
Bien évidemment, deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux, mais la réciproque est fausse : deux nombres peuvent être premiers entre eux sans être premiers.
Par exemple, 24 et 35 ne sont pas premiers (24 = 2 × 2 × 2 × 3 et 35 = 5 × 7), mais leur PGCD est 1, donc ils sont premiers entre eux.
Plusieurs élèves ont affirmé que le joueur A était avantagé parce que le nombre 1 est "premier avec tous les autres". L'intuition n'est pas totalement fausse, mais la formulation manque de rigueur, et surtout, elle ne suffit pas à conclure sur l’équité du jeu.
Il est vrai que le PGCD de 1 et n’importe quel autre nombre est toujours 1, donc si l’un des deux joueurs tire le nombre 1, le couple sera automatiquement premier entre eux, et A gagnera. Cela ajoute effectivement des cas favorables à A. Mais cela ne veut pas dire pour autant que le jeu est inéquitable uniquement à cause de ce cas particulier.
En réalité, pour savoir si le jeu est équitable, il faut compter précisément le nombre total de paires (a, b) avec a et b choisis entre 1 et 100, et déterminer dans combien de ces cas le PGCD(a, b) = 1. Ce n’est qu’en calculant la proportion de couples premiers entre eux qu’on peut trancher.
L’ utilisation d’un tableur est recommandée
C'est un travail conséquent qui nécessite des connaissance sur le tableur :
Remplir automatiquement des plages de cellules
(#128073#) Utiliser la poignée de recopie pour générer les nombres de 1 à 100 en ligne ou en colonne.
✅ Compétence de base pour structurer les données.
Créer un tableau à double entrée
(#128073#) Générer toutes les paires possibles (a, b) avec 1 ≤ a ≤ 100 et 1 ≤ b ≤ 100.
✅ Permet de représenter toutes les situations possibles du jeu.
Utiliser la fonction PGCD()
ou GCD()
(#128073#) Pour chaque couple (a, b), calculer le PGCD.
✅ Fonction centrale pour savoir si les deux nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1).
Utiliser une fonction conditionnelle (SI
, IF
)
(#128073#) Par exemple : =SI(PGCD(A1;B1)=1;1;0)
pour compter les cas favorables à A.
✅ Utile pour automatiser le décompte des cas gagnants.
Compter avec NB.SI()
ou SOMME()
(#128073#) Calculer le nombre total de cas favorables à A, et à B.
✅ Nécessaire pour comparer les proportions et juger de l’équité.
Calculer une proportion ou un pourcentage
(#128073#) Par exemple : =Nombre_de_cas_pour_A / Total_des_cas
✅ Permet d’estimer la probabilité de victoire de A.
Mise en forme conditionnelle (facultative)
(#128073#) Colorer en vert les cellules où A gagne, en rouge celles où B gagne.
✅ Offre une lecture visuelle intuitive des résultats.
Créer un graphique (facultatif)
(#128073#) Diagramme en secteurs ou histogramme pour visualiser les parts de victoire.
✅ Favorise la compréhension des résultats par l’élève.
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xtw31iyetEezuk22H38nG_FMAwc1xv42RtPDuKV-kU4/edit?usp=sharing
Ce jeu n’est pas équitable.
Deux nombres entiers tirés au hasard entre 1 et 100 sont premiers entre eux s’ils n’ont pas de diviseur commun autre que 1, c’est-à-dire si leur PGCD vaut 1.
Il est connu en théorie des nombres que la probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est d’environ :
6 / π² ≈ 0,6079, soit 60,8 %.
Ainsi :
Même si ici les nombres sont limités de 1 à 100, cette probabilité reste proche de cette valeur. Le joueur A est donc avantagé.
Conclusion : le jeu n’est pas équitable.
Cette probabilité est issue d’un raisonnement en théorie des nombres et fait intervenir la fonction zêta de Riemann. La démonstration fait appel à :
La démonstration complète est un beau résultat de mathématiques pures, que l’on rencontre typiquement en licence ou début de master en mathématiques. Elle mêle analyse et arithmétique.
On est donc loin des attendus de troisième !
Partager une passion est un privilège. Je développe en Python depuis Python 1.0 dans les années 90 et j'évoque ce langage souvent en classe. Par l’intermédiaire du bac à sable Python disponible sur le site2wouf.fr je montre qu'on peut, avec l'aide de Python et éventuellement d'une IA :
Ainsi quand on a évoqué les algorithmes de recherche du pgcd, j'ai donné cette fonction :
def pgcd(a, b): # Échange si nécessaire pour que a ≥ b if a < b: a, b = b, a # Algorithme d'Euclide while b: a, b = b, a % b return a
N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !
from random import * nb_max=100 score1=0 score2=0 def pgcd(a, b): # Échange si nécessaire pour que a ≥ b if a < b: a, b = b, a # Algorithme d'Euclide while b: a, b = b, a % b return a #----------------------------------------------------- def jouer(): #les scores des joueurs sont des variables globales: global score1,score2 j1,j2=randint(1,nb_max),randint(1,nb_max) print("joueur 1 :",j1," joueur 2 :",j2) if pgcd(j1,j2)==1: score1+=1 else: score2+=1 #--------------------------------------------------- for i in range(10): #on simule 10 parties jouer() if score1<score2: print("Le joueur 2 a gagné !") elif score1==score2: print("Egalité !") else: print("Le joueur 1 a gagné !")
N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !
En répétant plusieurs fois l'exécution du script on a l'intuition que le joueur A gagne plus souvent que le joueur B. Mais ce n'est qu'une intuition.
Plus besoin de hasard, on va tester tous les couples (sans rien afficher, il y en a 100x100=10 000) et livrer les résultats au sortir de la boucle :
score1=0 score2=0 def pgcd(a, b): # Échange si nécessaire pour que a ≥ b if a < b: a, b = b, a # Algorithme d'Euclide while b: a, b = b, a % b return a #----------------------------------------------------- def jouer(j1,j2): #les scores des joueurs sont des variables globales: global score1,score2 if pgcd(j1,j2)==1: score1+=1 else: score2+=1 #--------------------------------------------------- for x in range(100): for y in range(100): #x et y varient entre 0 et 99 jouer(x+1,y+1) #c'est pourquoi on ajoute 1 print("Les scores :",score1,score2) print(score1/100,"% - ",score2/100,"%") if score1<score2: print("Le joueur 2 a plus de chance de gagner !") elif score1==score2: print("Le jeu est équitable") else: print("Le joueur 1 plus de chance de gagner !")
N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !
Nous avons le résultat en une fraction de seconde !
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