Les conseils de Wouf

Beaucoup d’élèves entrant au lycée ont en effet des difficultés à manipuler les fractions, les racines carrées, les puissances, à factoriser des expressions… Ces notions, apprises au collège, sont mal assimilées, et le programme des classes de lycée ne prévoit pas de les retravailler en profondeur.

Cet ouvrage propose une remédiation pas à pas. Un code simple et mnémotechnique est associé à chacune des règles et rappelé dans toutes les corrections d’exercices. Il permet de se repérer et de comprendre ses erreurs.

La mort, c'est tellement obligatoire que c'est presque une formalité.
Marcel Pagnol

Voir toutes les citations.

Magic 500

Magic 500 n'est que le jeu où l'on devine un nombre, après essais successifs (trop grand, trop petit...)

Développé par les membres de Microloges, le club d'informatique de Beaumetz les loges, Magic 500 présente l'interêt d'offrir des sources quickbasic qui peuvent servir d'exemples aux débutants...

source: magic.bas

Le fichier principal:

DECLARE SUB jeu (moinsbon!)
DECLARE SUB regle ()
DECLARE SUB beethov ()
DECLARE SUB init (e$)
DECLARE SUB texte (a$, li!, co!, couleur!, t$)
DECLARE SUB espace (w!)
DECLARE SUB elise ()
CONST nbnb = 5         'nb de nb à trouver
CONST nbch = 3          'nb de chiffre à trouver
CONST nbenr = 30
TYPE sov
      chnom AS STRING * 20
      chnbes AS INTEGER
     END TYPE

DIM joueur AS sov
joueur.chnom = "Adam"


'                              Page de garde...
'__________________________________________________

DO


WIDTH 40, 25
CLS

texte "MICRoLoGES", 12, 5, 3, "non"

elise

texte "PRESENTE:", 14, 10, 4, "oui"

CLS

texte " M A G I C  5 0 0", 12, 1, 5, "non"

SLEEP 2
'_______________________________________________
'page 2

WIDTH 80, 50
CLS
OPEN "score.wou" FOR RANDOM AS #1 LEN = LEN(joueur)
i = 1

texte "MEILLEURS SCORES", 1, 25, 2, "non"
texte "NOM", 5, 15, 3, "non"
texte "ESSAIS", 5, 50, 3, "non"

max = LOF(1) / LEN(joueur)

IF max > nbenr THEN max = nbenr

FOR i = 1 TO max
  GET #1, i, joueur




  LOCATE 7 + i, 2
  COLOR 1
  PRINT i
  LOCATE 7 + i, 15
  PRINT joueur.chnom
  LOCATE 7 + i, 50
  COLOR 5
  PRINT joueur.chnbes


 NEXT



CLOSE #1
moinsbon = joueur.chnbes
IF moinsbon = 0 OR max < nbenr THEN moinsbon = 9999


LOCATE 50, 35
COLOR 2
PRINT "J";
COLOR 1
PRINT "ouer/";
COLOR 2
PRINT "R";
COLOR 1
PRINT "ègles/";
COLOR 2
PRINT "Q";
COLOR 1
PRINT "uitter";





DO
init e$  'on initialise la liste de nb aleatoires
LOOP UNTIL INSTR("jJrRqQ", e$) > 0 AND e$ <> ""



 


 SELECT CASE UCASE$(e$)


 CASE "J"
	jeu moinsbon

 CASE "Q"
 fin$ = "oui"

 CASE "R"
       regle

 END SELECT

 LOOP UNTIL fin$ = "oui"

SUB jeu (moinsbon)
DIM joueur AS sov
    DIM j AS sov
CLS
WIDTH 80, 50
BEEP

FOR no = 1 TO nbnb

 nbcach = INT(RND * 9 * 10 ^ (nbch - 1)) + 10 ^ (nbch - 1)
 DO
   essai = essai + 1
   PRINT
   COLOR 3
   PRINT "Encore "; nbnb - no + 1; "nombre";
   IF nbnb - no + 1 > 1 THEN PRINT ("s");
   PRINT " ...trouver. ";

  
   COLOR 3
   PRINT " Essai nø ";
   COLOR 4
   PRINT essai;
   COLOR 3
   PRINT " >  ";
   t = 0


   FOR y = 1 TO nbch

   t$ = ""
     DO
      t$ = INKEY$
     LOOP UNTIL INSTR("0123456789q", t$) > 0 AND t$ <> ""
     IF t$ = "q" THEN STOP
   PRINT t$;
   t = t * 10 + VAL(t$)

   t$ = ""
   
   
   NEXT y
  
   IF t > nbcach THEN PRINT "   trop grand "
   IF t < nbcach THEN PRINT "   trop petit "


 LOOP UNTIL t = nbcach
   COLOR 4
   PRINT " BRAVO !"
   IF no <nbnb THEN elise ELSE beethov
   espace (5)


NEXT no


PRINT "                           Mission accomplie !"
SLEEP 3

' ici on regarde le score et on le sauve si il est bon

IF essai < moinsbon THEN
PRINT " Bravo ! Vous entrez dans le top "; nbenr
PRINT
BEEP

INPUT "Entrez votre nom : "; nom$
OPEN "score.new" FOR RANDOM AS #2 LEN = LEN(joueur)

OPEN "score.wouf" FOR RANDOM AS #1 LEN = LEN(joueur)

 ok$ = "non"
 
 i2 = 0
 
 
max = LOF(1) / LEN(joueur)
 IF max = 0 THEN
       ok$ = "oui"
       j.chnom = nom$
       j.chnbes = essai
       i2 = i2 + 1
       PUT #2, i2, j
     END IF


 FOR i = 1 TO max

 GET #1, i, joueur

  IF (essai < joueur.chnbes OR joueur.chnbes = 0) AND ok$ = "non" THEN
       ok$ = "oui"
      
       j.chnom = nom$
       j.chnbes = essai
       i2 = i2 + 1
       PUT #2, i2, j
      
      
       END IF

       i2 = i2 + 1
       PUT #2, i2, joueur
      

 NEXT

 IF ok$ = "non" THEN

       ok$ = "oui"
     
       j.chnom = nom$
       j.chnbes = essai
       i2 = i2 + 1
       PUT #2, i2, j
      END IF


CLOSE #2
CLOSE #1

KILL "score.wou"
NAME "score.new" AS "score.wou"


END IF


END SUB

SUB regle
WIDTH 40, 25

CLS
texte "Règles", 5, 10, 5, "non"
texte "du jeu", 5, 23, 5, "oui"
espace (5)
COLOR 4
PRINT "Il s'agit de découvrir ";
PRINT nbnb;
PRINT " nombres cachés en dépensant"
PRINT "le moins d'essais possibles."
PRINT
PRINT " Les nombres sont des entiers de "; nbch; " chiffres"
PRINT
PRINT " plus petit, ou plus grand"
PRINT "seront mes seules indications"
PRINT
texte "BONNE CHANCE", 23, 12, 3, "oui"

LOCATE 25, 10
COLOR 4
PRINT " presser une touche";
SLEEP

END SUB

source: divers.bas

Et ce fichier externe, comme un "include"...

SUB beethov
ECOUTE$ = "T180 o2 P2 P8 L8 GGG L2 E-"
SUITE$ = "P24 P8 L8 FFF L2 D"
PLAY ECOUTE$ + SUITE$

END SUB

SUB elise
   PLAY ON
   lise$ = "o3 L8 E D+ E D+ E o2 B o3 D C L2 o2 A"
   PLAY "MB X" + VARPTR$(lise$)

END SUB

SUB espace (w)
FOR i = 1 TO w
 PRINT
 NEXT

END SUB

SUB init (e$)
DO
e$ = INKEY$
z = z + 1
LOOP UNTIL e$ <> ""
RANDOMIZE (z)

END SUB

SUB texte (a$, li, co, couleur, t$)
      
      LOCATE li, co
      COLOR couleur
      FOR i = 1 TO LEN(a$)
       PRINT (MID$(a$, i, 1)); " ";
       IF t$ = "oui" THEN SLEEP 1
       NEXT



END SUB

Téléchargements:

Télécharger le zip (EXE + sources)

Liens divers:

Quick Basic

Quick Basic est téléchargeable: qb45fr.zip

Un autre exemple sur Wikipedia: Exemple de programme sous Qbasic

Tweets by wouf

Comment ???

NEWS

Page : https://site2wouf.fr/magic500.php
Catégorie : Informatique

Ce jeu est-il équitable ? Probabilité et arithmétique.

J'ai proposé à mes élèves de troisième, dans le devoir 12 de cette année scolaire (2024-2025) l’exercice suivant :

Exercice 2 (L’ utilisation d’un tableur est recommandée)

On donne le jeu suivant :
« Chacun des deux joueurs tire au hasard un nombre entier entre 1 et 100. Si les deux nombres
sont premiers entre eux, c’est le joueur A qui gagne, sinon, c’est le joueur B qui gagne. »
Le jeu est-il équitable ?

Mes objectifs pour cet exercice étaient nombreux :

Travail sur des compétences arithmétiques (nombres premiers entre eux.)
Travail sur des compétences probabilistes ( Dans une situation d'équiprobabilité)
Travail sur des compétences algorithmiques (Tableur,Scratch, Python...)
travail sur des compétences de "débrouillardise" (Recherche internet, IA)

On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1.

Erreurs et idées fausses.

L'erreur la plus fréquente dans les copies corrigées est assez classique : beaucoup d'élèves confondent "nombres premiers" (des nombres divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes) et "nombres premiers entre eux" (voir la définition dans l'encadré ci-dessus).
Bien évidemment, deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux, mais la réciproque est fausse : deux nombres peuvent être premiers entre eux sans être premiers.
Par exemple, 24 et 35 ne sont pas premiers (24 = 2 × 2 × 2 × 3 et 35 = 5 × 7), mais leur PGCD est 1, donc ils sont premiers entre eux.

Une erreur m'a interpellé :

Plusieurs élèves ont affirmé que le joueur A était avantagé parce que le nombre 1 est "premier avec tous les autres". L'intuition n'est pas totalement fausse, mais la formulation manque de rigueur, et surtout, elle ne suffit pas à conclure sur l’équité du jeu.

Il est vrai que le PGCD de 1 et n’importe quel autre nombre est toujours 1, donc si l’un des deux joueurs tire le nombre 1, le couple sera automatiquement premier entre eux, et A gagnera. Cela ajoute effectivement des cas favorables à A. Mais cela ne veut pas dire pour autant que le jeu est inéquitable uniquement à cause de ce cas particulier.

En réalité, pour savoir si le jeu est équitable, il faut compter précisément le nombre total de paires (a, b) avec a et b choisis entre 1 et 100, et déterminer dans combien de ces cas le PGCD(a, b) = 1. Ce n’est qu’en calculant la proportion de couples premiers entre eux qu’on peut trancher.

L’ utilisation d’un tableur est recommandée

C'est un travail conséquent qui nécessite des connaissance sur le tableur :

Remplir automatiquement des plages de cellules
(#128073#) Utiliser la poignée de recopie pour générer les nombres de 1 à 100 en ligne ou en colonne.
✅ Compétence de base pour structurer les données.

Créer un tableau à double entrée
(#128073#) Générer toutes les paires possibles (a, b) avec 1 ≤ a ≤ 100 et 1 ≤ b ≤ 100.
✅ Permet de représenter toutes les situations possibles du jeu.

Utiliser la fonction PGCD() ou GCD()
(#128073#) Pour chaque couple (a, b), calculer le PGCD.
✅ Fonction centrale pour savoir si les deux nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1).

Utiliser une fonction conditionnelle (SI, IF)
(#128073#) Par exemple : =SI(PGCD(A1;B1)=1;1;0) pour compter les cas favorables à A.
✅ Utile pour automatiser le décompte des cas gagnants.

Compter avec NB.SI() ou SOMME()
(#128073#) Calculer le nombre total de cas favorables à A, et à B.
✅ Nécessaire pour comparer les proportions et juger de l’équité.

Calculer une proportion ou un pourcentage
(#128073#) Par exemple : =Nombre_de_cas_pour_A / Total_des_cas
✅ Permet d’estimer la probabilité de victoire de A.

Mise en forme conditionnelle (facultative)
(#128073#) Colorer en vert les cellules où A gagne, en rouge celles où B gagne.
✅ Offre une lecture visuelle intuitive des résultats.

Créer un graphique (facultatif)
(#128073#) Diagramme en secteurs ou histogramme pour visualiser les parts de victoire.
✅ Favorise la compréhension des résultats par l’élève.

Ma correction via Google sheets :

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xtw31iyetEezuk22H38nG_FMAwc1xv42RtPDuKV-kU4/edit?usp=sharing

De la mauvaise utilisation des IA

En effet si on livre l'exercice à ChatGPT, celui-ci nous répond :

Ce jeu n’est pas équitable.

Deux nombres entiers tirés au hasard entre 1 et 100 sont premiers entre eux s’ils n’ont pas de diviseur commun autre que 1, c’est-à-dire si leur PGCD vaut 1.

Il est connu en théorie des nombres que la probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est d’environ :

6 / π² ≈ 0,6079, soit 60,8 %.

Ainsi :

Le joueur A gagne avec une probabilité d’environ 60,8 %.
Le joueur B gagne avec une probabilité d’environ 39,2 %.

Même si ici les nombres sont limités de 1 à 100, cette probabilité reste proche de cette valeur. Le joueur A est donc avantagé.

Conclusion : le jeu n’est pas équitable.

Cette probabilité est issue d’un raisonnement en théorie des nombres et fait intervenir la fonction zêta de Riemann. La démonstration fait appel à :

la densité des couples premiers entre eux (Théorème de Cesàro) parmi les entiers,
la multiplicativité de la fonction indicatrice d’Euler,
La série de Dirichlet.

La démonstration complète est un beau résultat de mathématiques pures, que l’on rencontre typiquement en licence ou début de master en mathématiques. Elle mêle analyse et arithmétique.

On est donc loin des attendus de troisième !

De la bonne utilisation des IA

Partager une passion est un privilège. Je développe en Python depuis Python 1.0 dans les années 90 et j'évoque ce langage souvent en classe. Par l’intermédiaire du bac à sable Python disponible sur le site2wouf.fr je montre qu'on peut, avec l'aide de Python et éventuellement d'une IA :

s'amuser
gagner du temps

Ainsi quand on a évoqué les algorithmes de recherche du pgcd, j'ai donné cette fonction :

def pgcd(a, b):
    
    # Échange si nécessaire pour que a ≥ b
    if a < b:
        a, b = b, a
    
    # Algorithme d'Euclide
    while b:
        a, b = b, a % b
    
    return a

N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !

Alors pourquoi ne pas simuler le jeu de l'exercice en utilisant cette fonction ?

from random import *
nb_max=100
score1=0
score2=0

def pgcd(a, b):
    
    # Échange si nécessaire pour que a ≥ b
    if a < b:
        a, b = b, a
    
    # Algorithme d'Euclide
    while b:
        a, b = b, a % b
    
    return a
#-----------------------------------------------------

def jouer():
    #les scores des joueurs sont des variables globales:
    global score1,score2
    
    j1,j2=randint(1,nb_max),randint(1,nb_max)
    print("joueur 1 :",j1," joueur 2 :",j2)
    if pgcd(j1,j2)==1:
        score1+=1
    else:
        score2+=1
   
#---------------------------------------------------    
for i in range(10):     #on simule 10 parties
    jouer()
    
if score1<score2:
    print("Le joueur 2 a gagné !")
elif score1==score2:
    print("Egalité !")
else:
    print("Le joueur 1 a gagné !")

N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !

En répétant plusieurs fois l'exécution du script on a l'intuition que le joueur A gagne plus souvent que le joueur B. Mais ce n'est qu'une intuition.

Version finalisée

Plus besoin de hasard, on va tester tous les couples (sans rien afficher, il y en a 100x100=10 000) et livrer les résultats au sortir de la boucle :

score1=0
score2=0

def pgcd(a, b):
    
    # Échange si nécessaire pour que a ≥ b
    if a < b:
        a, b = b, a
    
    # Algorithme d'Euclide
    while b:
        a, b = b, a % b
    
    return a
#-----------------------------------------------------

def jouer(j1,j2):
    #les scores des joueurs sont des variables globales:
    global score1,score2
    if pgcd(j1,j2)==1:
        score1+=1
    else:
        score2+=1
   
#---------------------------------------------------    
for x in range(100):   
    for y in range(100): #x et y varient entre 0 et 99
        jouer(x+1,y+1)      #c'est pourquoi on ajoute 1
        
print("Les scores :",score1,score2)
print(score1/100,"% - ",score2/100,"%")
if score1<score2:
    print("Le joueur 2 a plus de chance de gagner !")
elif score1==score2:
    print("Le jeu est équitable")
else:
    print("Le joueur 1 plus de chance de gagner !")

N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !