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• Catégorie : Informatique

Le point sur la notation ensembliste

En mathématiques, décrire un ensemble consiste à indiquer quels objets en font partie. Il existe plusieurs manières d'écrire un ensemble, chacune ayant ses avantages. Voici un tour d'horizon des notations les plus utilisées, du collège au lycée.

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1. La notation par énumération

La forme la plus classique consiste à lister tous les éléments, entre accolades et séparés par des points-virgules :

Exemple :
{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}
désigne l’ensemble des cinq premiers nombres pairs strictement positifs inférieurs ou égaux à 10.

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2. La notation imagée (avec des points de suspension)

Lorsque l’ensemble contient trop d’éléments, ou est infini, on peut utiliser des points de suspension pour faire comprendre le schéma :

Exemple :
{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; …}
désigne l’ensemble des nombres pairs strictement positifs.

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3. La notation abrégée avec points de suspension encadrés

Quand on connaît le premier et le dernier terme, et qu’aucune ambiguïté n’est possible sur la régularité, on peut écrire :

{2 ; 4 ; 6 ; … ; 28 ; 30}
Cela signifie qu’on prend tous les nombres pairs de 2 à 30, inclus.

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4. La notation en compréhension

On peut aussi définir un ensemble par une propriété caractéristique que doivent vérifier ses éléments.
Cette notation utilise souvent le symbole ∈ (appartient à), accompagné d’une barre verticale ( ∣ ) signifiant "tel que" :

{n ∈ ℕ ∣ n est pair}
se lit : "ensemble des entiers naturels n tels que n est pair".

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5. Une autre écriture par image directe

On peut aussi définir un ensemble en décrivant une formule qui donne tous ses éléments :

{2m ∣ m ∈ ℕ}
Ici, on explique que tout nombre de l’ensemble est obtenu en multipliant un entier naturel par 2.

Ces deux notations décrivent le même ensemble, mais selon deux points de vue différents :
– l’un par propriété (pair),
– l’autre par expression explicite (2m).

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6. À ne pas oublier : l’ensemble vide et le singleton

• L’ensemble vide, noté ∅ sans accolade! ou parfois {}, ne contient aucun élément.
  Exemple : {x ∈ ℕ ∣ x² = –1} = ∅
• Un singleton est un ensemble qui ne contient qu'un seul élément.
  Exemple : {42}

Quelques exemples en Python

Voici comment traduire certaines notations ensemblistes en langage Python, ce qui peut être utile en algorithmique ou pour manipuler des ensembles en programmation.

Créer un ensemble fini par énumération

A = {2, 4, 6, 8, 10}
print(A)  # Affiche : {2, 4, 6, 8, 10}

Créer un ensemble infini tronqué (via une boucle)

# Ensemble des 10 premiers nombres pairs
B = {2 * i for i in range(10)}
print(B)  # Affiche : {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

Définir un ensemble par compréhension (avec condition)

# Nombres pairs inférieurs à 30
C = {n for n in range(1, 31) if n % 2 == 0}
print(C)  # Affiche : {2, 4, ..., 30}

Écrire un ensemble par image directe

# 2m pour m de 0 à 20
D = {2 * m for m in range(21)}
print(D)  # Affiche : {0, 2, ..., 40}

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Pour aller plus loin

• (#128279#) Bac à sable Python
• (#128279#) Article Wikipédia sur la notation ensembliste
• (#128279#) Références officielles du programme de mathématiques au collège (éduscol)

lien vers l'article sur wouf blog

 

TIPS

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