• Home
    • Home
    • Wouf's Blog
    • Bibliowouf
    • Boutique TShirt
    • Sponsoring
    • Politique de confidentialié
  • Math
    • Math au collège
    • Applis et boutiques
    • Cours particuliers
  • Jeux
    • Echecs
    • Poker
    • Des chiffres et des lettres
    • Dogs and cats (mastermind)
    • boggle - version Anglaise
    • boggle - version Française
  • Info
    • Console Python
    • SVG EDIT
    • fond d'écran
    • Prénom en chinois
    • Boite à outils
    • Mes Logiciels
    • DIVERS
    • Webmaster?
    • Liens

Laurent Petitprez

Tweet

Les conseils de Wouf

Beaucoup d’élèves entrant au lycée ont en effet des difficultés à manipuler les fractions, les racines carrées, les puissances, à factoriser des expressions… Ces notions, apprises au collège, sont mal assimilées, et le programme des classes de lycée ne prévoit pas de les retravailler en profondeur.

Cet ouvrage propose une remédiation pas à pas. Un code simple et mnémotechnique est associé à chacune des règles et rappelé dans toutes les corrections d’exercices. Il permet de se repérer et de comprendre ses erreurs.

Pour se marier, il faut un témoin, comme pour un accident ou un duel.

Sacha Guitry (sur Mon tshirt!)

Voir toutes les citations.


TIPS : conseils et astuces

tip: 1/31

Pour un surf correct, sur le site de Wouf, il vous faut avoir un navigateur de moins de 10 ans et ne pas refuser le javascript.

Si vous detectez une imperfection, n'hésitez pas à commenter!

tip: 2/31

Firefox est un très bon navigateur alternatif!

Lien de téléchargement dans la boite à outils du menu informatique...

tip: 3/31

Par pitié, Webmasters, ne cassez pas le bouton retour en usant et abusant de l'attribut target="_blank" en rédigeant vos liens!

tip: 4/31

Wikipedia l'encyclopédie libre, symbolise pour moi l'avenir du bon web.

Sur le site de Wouf, Wikipedia est accessible directement dans le menu "liens".

tip: 5/31

Et pourquoi pas le Site de Wouf comme page de démarrage sur Internet?

Une page légère et simple, avec des liens, des infos, des conseils, un peu de culture... Que demander de plus!

tip: 6/31

Gardez Windows propre!

Un lien vers Ccleaner est disponible dans la boite à outils, du menu "informatique"...

tip: 7/31

Testez votre FAI (Fournisseur d'Accés à Internet)...

Grenouille.com est accessible, par le menu, en cliquant sur "liens" puis "Plus!!!"

tip: 8/31

Un souci d'ortographe?

Sur le site de Wouf, Answers est directement accessible du menu en cliquant sur "liens". (dico)

tip: 9/31

A qui appartient ce numéro de téléphone?

www.ctqui.com offre un service gratuit: il répond à cette question!

Cliquez sur "Liens" puis sur "Plus!!!"

tip: 10/31

Perdu l'annuaire?

www.annu.com est accessible sur le site de Wouf, par l'intermédiaire du menu "Liens" en cliquant sur "Plus"

tip: 11/31

Dingue de télé?

Demandez le programme, dans le menu "liens"...

tip: 12/31

CommentCaMArche.net, encyclopédie libre.

Ce site est une mine d'informations accessibles, d'ici en cliquant sur "Liens" puis "Plus!!!"

tip: 13/31

Connaissez-vous OOO?.

Open Office (.Org) est une suite bureautique pleine d'avenir, avec déjà un passé riche.

Traitement de texte, tableur, gestionnaire de base de données, etc... Rien ne manque!

Open office est indispensable, un lien vers le site de téléchargement est bien rangé, dans la boite à outil du menu "Informatique".

tip: 14/31

  Connaissez-vous VLC media player?

Ce petit logiciel est un lecteur multimédia qui lit presque tous les formats!

  Un lien pour télécharger ce petit bijou?

Oui! dans la boite à outil du menu "Informatique"

tip: 15/31

UN T-shirt ou une doudoune demain?

meteofrance est joignable en cliquant sur "Liens".

tip: 16/31

Vous cherchez un logiciel gratuit?

Framasoft
est joignable en cliquant sur "Liens" puis sur "Plus".

tip: 17/31

Perdu l'annuaire?

www.118218.fr est accessible sur le site de Wouf, par l'intermédiaire du menu "Liens" en cliquant sur "Annuaire"

tip: 18/31

Vous connaissez Python?

Python est un langage de programmation.

Le nom Python ne viendrait pas du nom d'un reptile mais du Monty Python Flying Circus, un groupe de comiques complètement déjantés qui ont sévis sur la BBC dans les années 60-70.

Sur le site de Wouf, vous trouverez:

  • Un lien de téléchargement dans la boite à outil du menu informatique.
  • Des liens vers des didacticiels et aides en ligne dans le menu Liens "Plus"
  • Un exemple de sources là

Python is fantastic!

tip: 19/31

Allhtml est plus qu'un site, c'est une communauté de passionnés en développement web.

Sur le site de Wouf, AllHtml est accéssible en cliquant sur liens puis "plus"

tip: 20/31

Sur le site de Wouf, dans le menu "lien", en survolant "wikipedia", apparaît l'item: "Une page au hasard".

Par un simple clique, on accède à une page de Wikipedia... au hasard!

Un moyen original de se cultiver...

tip: 21/31
laurent-chinois
Et pourquoi pas votre prénom en chinois pour décorer votre site ou votre blog ?

Prénom en chinois

tip: 22/31

Besoin d'afficher un diagramme d'Echecs, sans héberger forcément l'image ?

Chessdiag.org est fait pour vous !


diag, from chessdiag
tip: 23/31

Navigateur Web Opera

Le navigateur le plus rapide au monde !

Naviguez sur le Web à la vitesse de l'éclair. Découvrez le nouveau design élégant et les nombreuses autres améliorations d'Opera.

http://www.opera.com/
tip: 24/31

Avez-vous vu les fonds d'écran du menu informatique/goodies ?

tip: 25/31
Apprenez à gagner avec les meilleures stratégies de poker et réclamez votre argent de poker gratuit chez PokerStrategy.com, sans dépôt requis !
tip: 26/31

Inkscape est un logiciel de dessin vectoriel professionnel pour Windows, Mac OS X et GNU/Linux. Il est libre et gratuit.

tip: 27/31

FSG< vous aide à générer gratuitement un sitemap !

tip: 28/31

Développé par Laurens Koppers, ce site classroomscreen.com peut être un incontournable en classe ! Je vous recommande une visite !

tip: 29/31

Pearltrees est un service web qui permet d'organiser, d'explorer et de partager des contenus numériques.

Un lien se vers Pearltrees se trouve dans le menu info>liens>

Mon Pearltress : https://www.pearltrees.com/wouf

tip: 30/31

FullSync est un utilitaire de synchronisation et de sauvegarde de fichiers personnalisable. publié sous licence GNU GPL.

Plus d'information sur le blog
tip: 31/31

Utilisateur de Python et manipulateur de fractions ?

Connaissez-vous l'objet fraction ?
 


Tweets by wouf

Comment ???

NEWS

  • Page : https://site2wouf.fr/tips.php
  • Catégorie : Informatique

Ce jeu est-il équitable ? Probabilité et arithmétique.

J'ai proposé à mes élèves de troisième, dans le devoir 12 de cette année scolaire (2024-2025) l’exercice suivant :


Exercice 2 (L’ utilisation d’un tableur est recommandée)


On donne le jeu suivant :
« Chacun des deux joueurs tire au hasard un nombre entier entre 1 et 100. Si les deux nombres
sont premiers entre eux, c’est le joueur A qui gagne, sinon, c’est le joueur B qui gagne. »
Le jeu est-il équitable ?

Mes objectifs pour cet exercice étaient nombreux :

  • Travail sur des compétences arithmétiques (nombres premiers entre eux.)
  • Travail sur des compétences probabilistes ( Dans une situation d'équiprobabilité)
  • Travail sur des compétences algorithmiques (Tableur,Scratch, Python...)
  • travail sur des compétences de "débrouillardise" (Recherche internet, IA)

On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1.

Erreurs et idées fausses.

L'erreur la plus fréquente dans les copies corrigées est assez classique : beaucoup d'élèves confondent "nombres premiers" (des nombres divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes) et "nombres premiers entre eux" (voir la définition dans l'encadré ci-dessus).
Bien évidemment, deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux, mais la réciproque est fausse : deux nombres peuvent être premiers entre eux sans être premiers.
Par exemple, 24 et 35 ne sont pas premiers (24 = 2 × 2 × 2 × 3 et 35 = 5 × 7), mais leur PGCD est 1, donc ils sont premiers entre eux.

Une erreur m'a interpellé :

Plusieurs élèves ont affirmé que le joueur A était avantagé parce que le nombre 1 est "premier avec tous les autres". L'intuition n'est pas totalement fausse, mais la formulation manque de rigueur, et surtout, elle ne suffit pas à conclure sur l’équité du jeu.

Il est vrai que le PGCD de 1 et n’importe quel autre nombre est toujours 1, donc si l’un des deux joueurs tire le nombre 1, le couple sera automatiquement premier entre eux, et A gagnera. Cela ajoute effectivement des cas favorables à A. Mais cela ne veut pas dire pour autant que le jeu est inéquitable uniquement à cause de ce cas particulier.

En réalité, pour savoir si le jeu est équitable, il faut compter précisément le nombre total de paires (a, b) avec a et b choisis entre 1 et 100, et déterminer dans combien de ces cas le PGCD(a, b) = 1. Ce n’est qu’en calculant la proportion de couples premiers entre eux qu’on peut trancher.

L’ utilisation d’un tableur est recommandée

C'est un travail conséquent qui nécessite des connaissance sur le tableur :

Remplir automatiquement des plages de cellules
(#128073#) Utiliser la poignée de recopie pour générer les nombres de 1 à 100 en ligne ou en colonne.
✅ Compétence de base pour structurer les données.

Créer un tableau à double entrée
(#128073#) Générer toutes les paires possibles (a, b) avec 1 ≤ a ≤ 100 et 1 ≤ b ≤ 100.
✅ Permet de représenter toutes les situations possibles du jeu.

Utiliser la fonction PGCD() ou GCD()
(#128073#) Pour chaque couple (a, b), calculer le PGCD.
✅ Fonction centrale pour savoir si les deux nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1).

Utiliser une fonction conditionnelle (SI, IF)
(#128073#) Par exemple : =SI(PGCD(A1;B1)=1;1;0) pour compter les cas favorables à A.
✅ Utile pour automatiser le décompte des cas gagnants.

Compter avec NB.SI() ou SOMME()
(#128073#) Calculer le nombre total de cas favorables à A, et à B.
✅ Nécessaire pour comparer les proportions et juger de l’équité.

Calculer une proportion ou un pourcentage
(#128073#) Par exemple : =Nombre_de_cas_pour_A / Total_des_cas
✅ Permet d’estimer la probabilité de victoire de A.

Mise en forme conditionnelle (facultative)
(#128073#) Colorer en vert les cellules où A gagne, en rouge celles où B gagne.
✅ Offre une lecture visuelle intuitive des résultats.

Créer un graphique (facultatif)
(#128073#) Diagramme en secteurs ou histogramme pour visualiser les parts de victoire.
✅ Favorise la compréhension des résultats par l’élève.

Ma correction via Google sheets :

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xtw31iyetEezuk22H38nG_FMAwc1xv42RtPDuKV-kU4/edit?usp=sharing

De la mauvaise utilisation des IA

En effet si on livre l'exercice à ChatGPT, celui-ci nous répond :

Ce jeu n’est pas équitable.

Deux nombres entiers tirés au hasard entre 1 et 100 sont premiers entre eux s’ils n’ont pas de diviseur commun autre que 1, c’est-à-dire si leur PGCD vaut 1.

Il est connu en théorie des nombres que la probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est d’environ :

6 / π² ≈ 0,6079, soit 60,8 %.

Ainsi :

  • Le joueur A gagne avec une probabilité d’environ 60,8 %.
  • Le joueur B gagne avec une probabilité d’environ 39,2 %.

Même si ici les nombres sont limités de 1 à 100, cette probabilité reste proche de cette valeur. Le joueur A est donc avantagé.

Conclusion : le jeu n’est pas équitable.

Cette probabilité est issue d’un raisonnement en théorie des nombres et fait intervenir la fonction zêta de Riemann. La démonstration fait appel à :

  • la densité des couples premiers entre eux (Théorème de Cesàro) parmi les entiers,
  • la multiplicativité de la fonction indicatrice d’Euler,
  • La série de Dirichlet.

La démonstration complète est un beau résultat de mathématiques pures, que l’on rencontre typiquement en licence ou début de master en mathématiques. Elle mêle analyse et arithmétique.

On est donc loin des attendus de troisième !

De la bonne utilisation des IA

Partager une passion est un privilège. Je développe en Python depuis  Python 1.0 dans les années 90 et j'évoque ce langage souvent en classe. Par l’intermédiaire du bac à sable Python disponible sur le site2wouf.fr je montre qu'on peut, avec l'aide de Python et éventuellement d'une IA :

  • s'amuser
  • gagner du temps

Ainsi quand on a évoqué les algorithmes de recherche du pgcd, j'ai donné cette fonction :

def pgcd(a, b):
    
    # Échange si nécessaire pour que a ≥ b
    if a < b:
        a, b = b, a
    
    # Algorithme d'Euclide
    while b:
        a, b = b, a % b
    
    return a

N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !

Alors pourquoi ne pas simuler le jeu de l'exercice en utilisant cette fonction ?

from random import *
nb_max=100
score1=0
score2=0

def pgcd(a, b):
    
    # Échange si nécessaire pour que a ≥ b
    if a < b:
        a, b = b, a
    
    # Algorithme d'Euclide
    while b:
        a, b = b, a % b
    
    return a
#-----------------------------------------------------

def jouer():
    #les scores des joueurs sont des variables globales:
    global score1,score2
    
    j1,j2=randint(1,nb_max),randint(1,nb_max)
    print("joueur 1 :",j1," joueur 2 :",j2)
    if pgcd(j1,j2)==1:
        score1+=1
    else:
        score2+=1
   
#---------------------------------------------------    
for i in range(10):     #on simule 10 parties
    jouer()
    
if score1<score2:
    print("Le joueur 2 a gagné !")
elif score1==score2:
    print("Egalité !")
else:
    print("Le joueur 1 a gagné !")
    

N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !

En répétant plusieurs fois l'exécution du script on a l'intuition que le joueur A gagne plus souvent que le joueur B. Mais ce n'est qu'une intuition.

Version finalisée

Plus besoin de hasard, on va tester tous les couples (sans rien afficher, il y en a 100x100=10 000) et livrer les résultats au sortir de la boucle :

score1=0
score2=0

def pgcd(a, b):
    
    # Échange si nécessaire pour que a ≥ b
    if a < b:
        a, b = b, a
    
    # Algorithme d'Euclide
    while b:
        a, b = b, a % b
    
    return a
#-----------------------------------------------------

def jouer(j1,j2):
    #les scores des joueurs sont des variables globales:
    global score1,score2
    if pgcd(j1,j2)==1:
        score1+=1
    else:
        score2+=1
   
#---------------------------------------------------    
for x in range(100):   
    for y in range(100): #x et y varient entre 0 et 99
        jouer(x+1,y+1)      #c'est pourquoi on ajoute 1
        
print("Les scores :",score1,score2)
print(score1/100,"% - ",score2/100,"%")
if score1<score2:
    print("Le joueur 2 a plus de chance de gagner !")
elif score1==score2:
    print("Le jeu est équitable")
else:
    print("Le joueur 1 plus de chance de gagner !")
    

N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !

Nous avons le résultat en une fraction de seconde !

lien vers l'article sur wouf blog
 

TIPS

Sur le site de Wouf, dans le menu "lien", en survolant "wikipedia", apparaît l'item: "Une page au hasard".

Par un simple clique, on accède à une page de Wikipedia... au hasard!

Un moyen original de se cultiver...

Voir tous les conseils.

Dernière mise à jour:

Juillet-aôut 2023

Nouvelle Page !

  • Exercices du jour : Les 16 immeubles !

Pages modifiées (ou corrigées) !

  • Exercices du jour : L'enclos
  • Exercices du jour : Les carrelages de couleur /a>

Voir toutes les mises à jour.

 

Trois liens disponibles !

Votre propre message ici, c'est possible! Plus d'informations



Sauf mention contraire, le site est placé sous double licence Creative Commons et GNU Free Documentation License, par contre les grandes images décoratives appartiennent à Corbis et sont licenciées par microsoft

Contact: w0uf@free.fr (avec un zéro à la place du O)