site2wouf.fr : La tournée du jour

Tout le monde est égal devant le slip.

Jan Bucquoy

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Pont⑫ rue BasseⒶ Place du Marchéa la poste
② rue du Moulin⑬ chemin du LavoirⒷ Place de la Fontaineb l'école
③ avenue de la Gare⑭ rue de l'ÉgliseⒸ Rond-point des Vachesc la pharmacie
④ rue Verte⑮ rue de la PosteⒹ Rond-point de la Gared le marché couvert
⑤ rue du Puits⑯ rue des JardinsⒺ Rond-point du Pont
⑥ rue du Four⑰ allée des PeupliersⒻ Coin du Lavoir
⑦ boulevard du Parc⑱ rue du StadeⒼ Rond-point du Stade
⑧ rue des Lilas⑲ chemin des VignesⒽ Place des Tanneurs
⑨ allée des Tilleuls⑳ quai aux FleursⒿ Fontaine Notre-Dame
⑩ venelle du Chat㉑ impasse des RosesⓀ Carrefour du Lavoir
⑪ rue des ÉcolesⓁ Rond-point de la Poste
Ⓜ Place aux Herbes
Ⓟ Place de l'Église
Ⓠ Carrefour des Quatre-Chemins
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021abcdABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues22364242244124
Paritépairpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : C, M — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en M, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, C et M, et la poste est justement sur l'un des deux (M). Il part donc de la poste et termine en C, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Place aux Herbes (M), prend l'impasse des Roses ㉑ vers l'est et atteint Carrefour des Quatre-Chemins (Q).
  2. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  3. Il continue tout droit dans la rue des Lilas ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  4. Il continue tout droit dans la rue Verte ④, vers le nord-est, jusqu'à Place de la Fontaine (B).
  5. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ③, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  6. Il continue tout droit dans la rue du Pont ①, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (A).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ②, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  8. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑩, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade (G).
  9. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  10. Il continue tout droit dans l'allée des Peupliers ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (J).
  11. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑱, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (Q).
  12. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑳, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  13. Il continue tout droit dans la rue des Écoles ⑪, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  14. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑥, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  15. Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ⑦, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (F).
  16. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑫, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (K).
  17. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (H).
  18. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑯, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (P).
  19. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑲, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (K).
  20. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑨, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  21. Il continue tout droit dans la rue du Puits ⑤, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en C ou en M : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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