site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
jeudi 16 avril 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Basse⑫ rue du PontS0 Rond-point du Ponta la poste
② rue Verte⑬ rue du PuitsS1 Place de l'Égliseb l'église
③ quai aux Fleurs⑭ rue du StadeS2 Coin du Lavoirc le lavoir
④ rue Haute⑮ impasse du Vieux-FourS3 Carrefour des Tilleulsd l'école
⑤ rue du Moulin⑯ chemin du LavoirS4 Carrefour du Moulin
⑥ chemin de Ronde⑰ rue du FourS5 Place des Tanneurs
⑦ rue des Écoles⑱ rue NeuveS6 Carrefour de l'Hôpital
⑧ boulevard du Parc⑲ rue PasteurS7 Fontaine Notre-Dame
⑨ passage du Marché⑳ sentier des PrésS8 Place du Vieux-Puits
⑩ chemin des Vignes21 rue des LilasS9 Rond-point de la Gare
⑪ rue de l'Église22 chemin CreuxS10 Rond-point de la Poste
S11 Carrefour de la Mairie
S12 Place de la Fontaine
S13 Place aux Herbes
S14 Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14
Nombre de rues422441622434222
Paritépairpairpairpairpairimpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S5, S10 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S6, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S5 et S10 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S6, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S5 à S10. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S5 :
  1. Il part de Place des Tanneurs (S5), prend l'impasse du Vieux-Four ⑮ vers le sud et atteint Rond-point de la Gare (S9).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑱, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S6).
  3. Il continue tout droit dans la rue Haute ④, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (S0).
  4. Il tourne à gauche dans la rue Basse ①, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église (S1).
  5. Il continue tout droit dans la rue du Moulin ⑤, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S6).
  6. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S3).
  7. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ③, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (S0).
  8. Il tourne à droite dans la rue Verte ②, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (S2).
  9. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S4).
  10. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S3).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑩, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S11).
  12. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché (S14).
  13. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑧, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (S13).
  14. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑲, vers le nord, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S7).
  15. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S4).
  16. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑭, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S8).
  17. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑳, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S11).
  18. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑰, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S6).
  19. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑯, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (S10).
  20. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Place de la Fontaine (S12).
  21. Il prend dans le chemin Creux 22, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S9).
  22. Il prend dans la rue des Lilas 21, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S10).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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