site2wouf.fr : La tournée du jour

On peut courir deux lièvres à la fois, si, et seulement si, ils courent côte à côte.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQRN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Basse⑫ impasse du Vieux-FourⒶ Rond-point du Ponta la poste
② rue Verte⑬ rue du PontⒷ Place de l'Égliseb l'église
③ quai aux Fleurs⑭ rue du PuitsⒸ Coin du Lavoirc le lavoir
④ rue Haute⑮ rue du StadeⒹ Carrefour des Tilleulsd l'école
⑤ rue du Moulin⑯ chemin du LavoirⒺ Carrefour du Moulin
⑥ chemin de Ronde⑰ rue du FourⒻ Place des Tanneurs
⑦ rue des Écoles⑱ rue NeuveⒼ Carrefour de l'Hôpital
⑧ boulevard du Parc⑲ rue PasteurⒽ Fontaine Notre-Dame
⑨ passage du Marché⑳ sentier des PrésⒿ Place du Vieux-Puits
⑩ chemin des Vignes㉑ rue des LilasⓀ Rond-point de la Gare
⑪ rue de l'Église㉒ chemin CreuxⓁ Rond-point de la Poste
Ⓜ Carrefour de la Mairie
Ⓟ Place de la Fontaine
Ⓠ Place aux Herbes
Ⓡ Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcdABCDEFGHJKLMPQRN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQR
Nombre de rues422441622434222
Paritépairpairpairpairpairimpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : F, L — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en G, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, F et L : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en G, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de F à L. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de F :
  1. Il part de Place des Tanneurs (F), prend l'impasse du Vieux-Four ⑫ vers le sud et atteint Rond-point de la Gare (K).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  3. Il continue tout droit dans la rue Haute ④, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  4. Il tourne à gauche dans la rue Basse ①, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église (B).
  5. Il continue tout droit dans la rue du Moulin ⑤, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  6. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑧, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  7. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ③, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  8. Il tourne à droite dans la rue Verte ②, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (C).
  9. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  10. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
  11. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (M).
  12. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑰, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (J).
  13. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑪, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  14. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑩, vers le sud-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (H).
  15. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑯, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (Q).
  16. Il tourne à droite dans le chemin Creux ㉒, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (R).
  17. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ㉑, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (M).
  18. Il continue tout droit dans la rue du Stade ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  19. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑭, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
  20. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (K).
  21. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑲, vers le sud-est, jusqu'à Place de la Fontaine (P).
  22. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑳, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (L).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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