site2wouf.fr : La tournée du jour

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.

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Fiche n°
samedi 16 mai 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin des Vignes⑩ rue du StadeS0 Place de l'Églisea la poste
② rue de la Mairie⑪ allée des TilleulsS1 Place aux Herbesb le marché couvert
③ impasse Verte⑫ allée des PeupliersS2 Carrefour Saint-Rochc la boulangerie
④ chemin Creux⑬ rue HauteS3 Fontaine Notre-Damed le gymnase
⑤ sentier des Prés⑭ boulevard du ParcS4 Carrefour de l'Hôpitale le stade
⑥ passage du Marché⑮ rue des LilasS5 Place des Tanneurs
⑦ rue de l'Église⑯ avenue de la GareS6 Carrefour des Quatre-Chemins
⑧ rue du Puits⑰ venelle du ChatS7 Carrefour du Moulin
⑨ rue du Moulin⑱ rue du FourS8 Place de la Fontaine
S9 Place du Vieux-Puits
S10 Rond-point de la Gare
S11 Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11
Nombre de rues213262642242
Paritépairimpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 36 = 2 × 18, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S1, S2 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S1, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S1 et S2, et la poste est justement sur l'un des deux (S1). Il part donc de la poste et termine en S2, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Place aux Herbes (S1), prend l'impasse Verte ③ vers le sud et atteint Carrefour de l'Hôpital (S4).
  2. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ②, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église (S0).
  3. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ①, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S2).
  4. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S4).
  5. Il continue tout droit dans la rue de l'Église ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S3).
  6. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑧, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (S7).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S4).
  8. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑨, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S6).
  9. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑪, vers le nord-est, jusqu'à Place des Tanneurs (S5).
  10. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑫, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S9).
  11. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S6).
  12. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑬, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S10).
  13. Il tourne à droite dans le chemin Creux ④, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (S11).
  14. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑰, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (S7).
  15. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑯, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S10).
  16. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑱, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine (S8).
  17. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑭, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S6).
  18. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑥, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S2).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S1 ou en S2 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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