site2wouf.fr : La tournée du jour

Je songe parfois à la quantité de boeuf qu'il faudrait pour faire du bouillon avec le Lac de Genève.

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Fiche n°
lundi 25 mai 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021222324abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① quai aux Fleurs⑬ rue de la MairieS0 Carrefour de la Mairiea la poste
② chemin du Lavoir⑭ passage du MarchéS1 Fontaine Notre-Dameb le marché couvert
③ rue de l'Église⑮ chemin CreuxS2 Rond-point de la Postec la gendarmerie
④ allée des Peupliers⑯ rue du FourS3 Rond-point du Pontd le lavoir
⑤ rue de la Poste⑰ rue du StadeS4 Rond-point des Vachese la mairie
⑥ chemin de Ronde⑱ rue NeuveS5 Carrefour des Tilleuls
⑦ rue Basse⑲ avenue de la GareS6 Rond-point de la Gare
⑧ rue des Jardins⑳ rue VerteS7 Place des Tanneurs
⑨ rue Pasteur21 rue du MoulinS8 Place du Vieux-Puits
⑩ rue des Écoles22 rue HauteS9 Carrefour du Moulin
⑪ boulevard du Parc23 allée des TilleulsS10 Place du Marché
⑫ chemin des Vignes24 venelle du ChatS11 Coin du Lavoir
S12 Carrefour de l'Hôpital
S13 Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13
Nombre de rues42446462242242
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 48 = 2 × 24, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S4, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point des Vaches (S4), prend l'allée des Peupliers ④ vers le nord-est et atteint Carrefour de la Mairie (S0).
  2. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ①, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S1).
  3. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S4).
  4. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑪, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (S3).
  5. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ③, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S0).
  6. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ②, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S2).
  7. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (S3).
  8. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑫, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (S6).
  9. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S2).
  10. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S5).
  11. Il continue tout droit dans la rue du Four ⑯, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S12).
  12. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (S13).
  13. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑳, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (S6).
  14. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑰, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S5).
  15. Il continue tout droit dans la rue Neuve ⑱, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (S7).
  16. Il tourne à droite dans la rue du Moulin 21, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S12).
  17. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑲, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S6).
  18. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S4).
  19. Il prend dans le passage du Marché ⑭, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S8).
  20. Il tourne à droite dans la rue Haute 22, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S9).
  21. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls 23, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché (S10).
  22. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (S11).
  23. Il tourne à droite dans la venelle du Chat 24, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (S9).
  24. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑮, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S4).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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