site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
mardi 26 mai 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920212223abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Poste⑬ rue du FourS0 Place de l'Églisea la poste
② chemin de Ronde⑭ rue de l'ÉgliseS1 Fontaine Notre-Dameb la mairie
③ rue de la Mairie⑮ rue des JardinsS2 Place du Marchéc la bibliothèque
④ boulevard du Parc⑯ chemin des VignesS3 Rond-point de la Gared l'église
⑤ avenue de la Gare⑰ rue des ÉcolesS4 Rond-point des Vaches
⑥ allée des Tilleuls⑱ rue PasteurS5 Carrefour de la Mairie
⑦ rue Haute⑲ allée des PeupliersS6 Place du Vieux-Puits
⑧ rue du Stade⑳ rue VerteS7 Place de la Fontaine
⑨ sentier des Prés21 passage du MarchéS8 Carrefour du Lavoir
⑩ chemin Creux22 rue BasseS9 Carrefour Saint-Roch
⑪ rue du Moulin23 chemin du LavoirS10 Place aux Herbes
⑫ rue des LilasS11 Carrefour des Quatre-Chemins
S12 Rond-point du Stade
S13 Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13
Nombre de rues22265622442342
Paritépairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 46 = 2 × 23, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S4, S11 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S12, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S4 et S11 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S12, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S4 à S11. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S4 :
  1. Il part de Rond-point des Vaches (S4), prend la rue Haute ⑦ vers le nord-ouest et atteint Place du Marché (S2).
  2. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S3).
  3. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ②, vers le nord, jusqu'à Place de l'Église (S0).
  4. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ①, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S1).
  5. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ③, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S3).
  6. Il continue tout droit dans la rue du Stade ⑧, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S4).
  7. Il prend dans la rue du Moulin ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S5).
  8. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑨, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S3).
  9. Il prend dans le chemin Creux ⑩, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S9).
  10. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑰, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S5).
  11. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑮, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade (S12).
  12. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ④, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (S10).
  13. Il tourne à gauche dans le passage du Marché 21, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S8).
  14. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S4).
  15. Il prend dans la rue des Lilas ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Place de la Fontaine (S7).
  16. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑳, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S8).
  17. Il tourne à droite dans la rue Basse 22, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (S12).
  18. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (S13).
  19. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑯, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S5).
  20. Il prend dans la rue de l'Église ⑭, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S11).
  21. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑱, vers le nord-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S6).
  22. Il prend dans l'allée des Peupliers ⑲, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S9).
  23. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir 23, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S11).

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