site2wouf.fr : La tournée du jour

La vie a besoin d'illusions, c'est-à-dire de non-vérités tenues pour des vérités.

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Fiche n°
mercredi 27 mai 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122232425abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin Creux⑭ allée des TilleulsS0 Place de la Fontainea la poste
② rue de l'Église⑮ rue des JardinsS1 Rond-point du Stadeb le cimetière
③ rue Neuve⑯ sentier des PrésS2 Place de l'Églisec la gendarmerie
④ chemin de Ronde⑰ rue du MoulinS3 Rond-point du Pontd la mairie
⑤ passage du Marché⑱ rue de la PosteS4 Carrefour de la Mairie
⑥ rue Haute⑲ chemin du LavoirS5 Carrefour du Lavoir
⑦ rue du Four⑳ venelle du ChatS6 Place des Tanneurs
⑧ chemin des Vignes21 rue BasseS7 Rond-point de la Gare
⑨ rue des Lilas22 rue du PontS8 Fontaine Notre-Dame
⑩ allée des Peupliers23 boulevard du ParcS9 Carrefour de l'Hôpital
⑪ rue des Écoles24 rue VerteS10 Carrefour des Tilleuls
⑫ rue du Puits25 rue de la MairieS11 Carrefour du Moulin
⑬ avenue de la GareS12 Placette des Ormes
S13 Place du Marché
S14 Carrefour Saint-Roch
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14
Nombre de rues242634242454224
Paritépairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 50 = 2 × 25, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S4, S10 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S4, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S4 et S10, et la poste est justement sur l'un des deux (S4). Il part donc de la poste et termine en S10, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour de la Mairie (S4), prend la rue de l'Église ② vers le nord et atteint Place de la Fontaine (S0).
  2. Il tourne à droite dans le chemin Creux ①, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (S1).
  3. Il tourne à droite dans la rue Neuve ③, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (S2).
  4. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (S3).
  5. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ④, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (S1).
  6. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑤, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S5).
  7. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑯, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S11).
  8. Il prend dans le chemin du Lavoir ⑲, vers le nord, jusqu'à Place des Tanneurs (S6).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S5).
  10. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑱, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S8).
  11. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc 23, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S11).
  12. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (S12).
  13. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑳, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S7).
  14. Il continue tout droit dans l'avenue de la Gare ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (S3).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S10).
  16. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑥, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (S13).
  17. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S14).
  18. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S10).
  19. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑮, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S4).
  20. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑫, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (S3).
  21. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑭, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S9).
  22. Il tourne à gauche dans la rue du Pont 22, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S7).
  23. Il prend dans la rue Basse 21, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S14).
  24. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie 25, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S9).
  25. Il tourne à gauche dans la rue Verte 24, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S10).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S4 ou en S10 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.

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