site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
samedi 17 janvier 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Neuve⑩ rue du FourS0 Carrefour du Lavoira la poste
② venelle du Chat⑪ rue du PuitsS1 Coin du Lavoirb le gymnase
③ rue Verte⑫ rue du PontS2 Rond-point du Stadec le marché couvert
④ rue des Jardins⑬ rue de l'ÉgliseS3 Fontaine Notre-Damed la gendarmerie
⑤ impasse des Roses⑭ chemin CreuxS4 Place de l'Églisee l'église
⑥ chemin des Vignes⑮ rue HauteS5 Carrefour des Quatre-Chemins
⑦ chemin du Lavoir⑯ rue du StadeS6 Place Sainte-Croix
⑧ rue de la Mairie⑰ rue des ÉcolesS7 Rond-point de la Gare
⑨ rue de la PosteS8 Place aux Herbes
S9 Place du Marché
S10 Carrefour de la Mairie
S11 Place du Vieux-Puits
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11
Nombre de rues324226242241
Paritéimpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 34 = 2 × 17, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S0, S11 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S0, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S0 et S11, et la poste est justement sur l'un des deux (S0). Il part donc de la poste et termine en S11, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour du Lavoir (S0), prend la rue Neuve ① vers l'ouest et atteint Coin du Lavoir (S1).
  2. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ④, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S5).
  3. Il prend dans la rue Verte ③, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S0).
  4. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ②, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (S2).
  5. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑥, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S3).
  6. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S5).
  7. Il prend dans la rue de la Mairie ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (S2).
  8. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église (S4).
  9. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S7).
  10. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S5).
  11. Il prend dans la rue du Pont ⑫, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (S8).
  12. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑯, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S7).
  13. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑮, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S10).
  14. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (S6).
  15. Il prend dans le chemin Creux ⑭, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (S9).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑰, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S10).
  17. Il continue tout droit dans l'impasse des Roses ⑤, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S11).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S0 ou en S11 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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