site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
samedi 20 juin 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011abcdABCDEFGN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① allée des Tilleuls⑦ rue du PontⒶ Place Sainte-Croixa la poste
② rue des Jardins⑧ rue des LilasⒷ Rond-point du Stadeb la gendarmerie
③ rue Pasteur⑨ sentier des PrésⒸ Carrefour de la Mairiec le stade
④ venelle du Chat⑩ boulevard du ParcⒹ Fontaine Notre-Damed la pharmacie
⑤ chemin de Ronde⑪ chemin CreuxⒺ Carrefour des Tilleuls
⑥ chemin des VignesⒻ Carrefour de l'Hôpital
Ⓖ Placette des Ormes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011abcdABCDEFGN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFG
Nombre de rues2342542
Paritépairimpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 × 11, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : B, E — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en C, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, B et E : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en C, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de B à E. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de B :
  1. Il part de Rond-point du Stade (B), prend la rue Pasteur ③ vers l'est et atteint Carrefour de la Mairie (C).
  2. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ①, vers le nord-est, jusqu'à Place Sainte-Croix (A).
  3. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (F).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (C).
  5. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  6. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑤, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (B).
  7. Il prend dans la venelle du Chat ④, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (D).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑧, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  9. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (F).
  10. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (G).
  11. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).

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