site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
dimanche 21 juin 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112abcdABCDEFGHIN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin Creux⑦ quai aux FleursⒶ Place Sainte-Croixa la poste
② rue Pasteur⑧ chemin du LavoirⒷ Place des Tanneursb le stade
③ chemin des Vignes⑨ impasse du PuitsⒸ Carrefour Saint-Rochc la bibliothèque
④ rue du Moulin⑩ avenue de la GareⒹ Carrefour des Tilleulsd le marché couvert
⑤ rue Verte⑪ rue des ÉcolesⒺ Placette des Ormes
⑥ venelle du Chat⑫ chemin de RondeⒻ Place de la Fontaine
Ⓖ Place du Marché
Ⓗ Fontaine Notre-Dame
Ⓘ Carrefour de l'Hôpital
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112abcdABCDEFGHIN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHI
Nombre de rues226322124
Paritépairpairpairimpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 × 12, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, G — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en G, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, D et G, et la poste est justement sur l'un des deux (G). Il part donc de la poste et termine en D, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Place du Marché (G), prend l'impasse du Puits ⑨ vers le nord et atteint Carrefour des Tilleuls (D).
  2. Il continue tout droit dans la rue Pasteur ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (A).
  3. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ①, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (C).
  4. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (B).
  5. Il prend dans la rue du Moulin ④, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (F).
  6. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (C).
  7. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑤, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (E).
  8. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑪, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (I).
  9. Il prend dans le chemin du Lavoir ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (C).
  10. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑦, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (H).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (I).
  12. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (D).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en D ou en G : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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