site2wouf.fr : La tournée du jour

Je n'ai pas échoué. J'ai simplement trouvé 10.000 solutions qui ne fonctionnent pas.

Thomas A. Edison

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les graphes et le critère d'Euler ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver le critère d'Euler et le raisonnement sur la parité des degrés.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°
mardi 30 juin 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Four⑨ chemin des VignesS0 Placette des Ormesa la poste
② rue du Moulin⑩ rue de l'ÉgliseS1 Rond-point du Pontb le cimetière
③ allée des Peupliers⑪ rue BasseS2 Place du Marchéc la bibliothèque
④ rue du Stade⑫ avenue de la GareS3 Place des Tanneurs
⑤ venelle du Chat⑬ rue du PuitsS4 Rond-point de la Poste
⑥ rue de la Poste⑭ boulevard du ParcS5 Place de la Fontaine
⑦ chemin du Lavoir⑮ rue HauteS6 Carrefour des Tilleuls
⑧ rue des Jardins⑯ rue PasteurS7 Carrefour de l'Hôpital
S8 Place du Vieux-Puits
S9 Carrefour du Moulin
S10 Place de l'Église
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10
Nombre de rues24226234232
Paritépairpairpairpairpairpairimpairpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S6, S9 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S6, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S6 et S9, et la poste est justement sur l'un des deux (S6). Il part donc de la poste et termine en S9, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour des Tilleuls (S6), prend la venelle du Chat ⑤ vers le nord et atteint Rond-point du Pont (S1).
  2. Il tourne à droite dans la rue du Four ①, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (S0).
  3. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ②, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (S5).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Stade ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (S1).
  5. Il continue tout droit dans l'allée des Peupliers ③, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (S2).
  6. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑥, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (S4).
  7. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (S3).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑧, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S7).
  9. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S4).
  10. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S6).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑬, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S8).
  12. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S4).
  13. Il prend dans l'avenue de la Gare ⑫, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (S9).
  14. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S7).
  15. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑭, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (S10).
  16. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S9).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S6 ou en S9 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal