site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
lundi 6 juillet 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① impasse Verte⑫ chemin du LavoirS0 Rond-point du Ponta la poste
② rue du Moulin⑬ allée des TilleulsS1 Place Sainte-Croixb l'église
③ rue des Lilas⑭ rue HauteS2 Place de la Fontainec le stade
④ rue Pasteur⑮ avenue de la GareS3 Rond-point du Staded le cimetière
⑤ rue de la Poste⑯ passage du MarchéS4 Place aux Herbese le lavoir
⑥ quai aux Fleurs⑰ chemin CreuxS5 Carrefour du Moulin
⑦ rue des Jardins⑱ rue BasseS6 Rond-point des Vaches
⑧ rue du Pont⑲ rue du PuitsS7 Carrefour des Tilleuls
⑨ rue de l'Église⑳ rue des ÉcolesS8 Carrefour des Quatre-Chemins
⑩ chemin des Vignes21 rue NeuveS9 Rond-point de la Poste
⑪ chemin de RondeS10 Place du Vieux-Puits
S11 Coin du Lavoir
S12 Place de l'Église
S13 Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13
Nombre de rues41242643442222
Paritépairimpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S1, S7 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S7, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S1 et S7, et la poste est justement sur l'un des deux (S7). Il part donc de la poste et termine en S1, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour des Tilleuls (S7), prend la rue de l'Église ⑨ vers le nord-ouest et atteint Rond-point du Stade (S3).
  2. Il continue tout droit dans la rue du Moulin ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (S0).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ③, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (S4).
  4. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S5).
  5. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (S2).
  6. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑦, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (S6).
  7. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S5).
  8. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S8).
  9. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (S3).
  10. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑧, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S10).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑰, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S7).
  12. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑱, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (S11).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑲, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S8).
  14. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑳, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S9).
  15. Il continue tout droit dans le passage du Marché ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S6).
  16. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑮, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (S13).
  17. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑤, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (S12).
  18. Il tourne à gauche dans la rue Neuve 21, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (S9).
  19. Il continue tout droit dans la rue Haute ⑭, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (S5).
  20. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ④, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (S0).
  21. Il tourne à gauche dans l'impasse Verte ①, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (S1).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S1 ou en S7 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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