site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdeABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① impasse Verte⑫ chemin du LavoirⒶ Rond-point du Ponta la poste
② rue du Moulin⑬ allée des TilleulsⒷ Place Sainte-Croixb l'église
③ rue des Lilas⑭ rue HauteⒸ Place de la Fontainec le stade
④ rue Pasteur⑮ avenue de la GareⒹ Rond-point du Staded le cimetière
⑤ rue de la Poste⑯ passage du MarchéⒺ Place aux Herbese le lavoir
⑥ quai aux Fleurs⑰ chemin CreuxⒻ Carrefour du Moulin
⑦ rue des Jardins⑱ rue BasseⒼ Rond-point des Vaches
⑧ rue du Pont⑲ rue du PuitsⒽ Carrefour des Tilleuls
⑨ rue de l'Église⑳ rue des ÉcolesⒿ Carrefour des Quatre-Chemins
⑩ chemin des Vignes㉑ rue NeuveⓀ Rond-point de la Poste
⑪ chemin de RondeⓁ Place du Vieux-Puits
Ⓜ Coin du Lavoir
Ⓟ Place de l'Église
Ⓠ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021abcdeABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues41242643442222
Paritépairimpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : B, H — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en H, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, B et H, et la poste est justement sur l'un des deux (H). Il part donc de la poste et termine en B, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour des Tilleuls (H), prend la rue des Jardins ⑦ vers le nord-ouest et atteint Rond-point du Stade (D).
  2. Il continue tout droit dans la rue du Moulin ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ③, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (E).
  4. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  5. Il continue tout droit dans la rue de la Poste ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (C).
  6. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑥, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  7. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑪, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  8. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (D).
  10. Il prend dans la rue de l'Église ⑨, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (L).
  11. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
  12. Il prend dans le chemin Creux ⑰, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (M).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑲, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (J).
  14. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (K).
  15. Il continue tout droit dans la rue Haute ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  16. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑮, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (Q).
  17. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ㉑, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (P).
  18. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑳, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (K).
  19. Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ⑬, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  20. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ④, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (A).
  21. Il tourne à gauche dans l'impasse Verte ①, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (B).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en B ou en H : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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