site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
dimanche 26 juillet 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112abcdeABCDEFGHN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Puits⑦ venelle du ChatⒶ Carrefour des Quatre-Cheminsa la poste
② rue Haute⑧ allée des PeupliersⒷ Carrefour du Moulinb la bibliothèque
③ rue Neuve⑨ rue de la MairieⒸ Rond-point des Vachesc le marché couvert
④ rue des Écoles⑩ avenue de la GareⒹ Carrefour de l'Hôpitald la pharmacie
⑤ rue du Pont⑪ quai aux FleursⒺ Rond-point du Ponte la gendarmerie
⑥ chemin de Ronde⑫ chemin CreuxⒻ Place aux Herbes
Ⓖ Place du Vieux-Puits
Ⓗ Place de l'Église
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112abcdeABCDEFGHN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGH
Nombre de rues34443222
Paritéimpairpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 × 12, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, E — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en B, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et E : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en B, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à E. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour des Quatre-Chemins (A), prend la rue du Puits ① vers l'est et atteint Carrefour du Moulin (B).
  2. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ④, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  3. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (D).
  4. Il tourne à droite dans la rue Haute ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (A).
  5. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ③, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (G).
  6. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (D).
  7. Il continue tout droit dans la rue du Pont ⑤, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (B).
  8. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  9. Il prend dans l'allée des Peupliers ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  10. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑨, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (F).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑫, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (H).
  12. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑪, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (E).

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