site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
mercredi 21 janvier 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin des Vignes⑧ venelle du ChatS0 Place du Marchéa la poste
② passage du Marché⑨ chemin de RondeS1 Rond-point de la Posteb la pharmacie
③ rue du Four⑩ rue du PuitsS2 Place de la Fontainec le lavoir
④ rue de l'Église⑪ quai aux FleursS3 Place des Tanneursd l'église
⑤ rue Pasteur⑫ impasse des RosesS4 Placette des Ormes
⑥ rue du Stade⑬ rue BasseS5 Carrefour des Quatre-Chemins
⑦ sentier des PrésS6 Place du Vieux-Puits
S7 Coin du Lavoir
S8 Place aux Herbes
S9 Place Sainte-Croix
S10 Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10
Nombre de rues23222622221
Paritépairimpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 × 13, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S1, S10 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S5, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S1 et S10 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S5, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S1 à S10. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S1 :
  1. Il part de Rond-point de la Poste (S1), prend le chemin des Vignes ① vers l'ouest et atteint Place du Marché (S0).
  2. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S5).
  3. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ④, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S1).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Four ③, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (S4).
  5. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S5).
  6. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (S2).
  7. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑤, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (S3).
  8. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑦, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S5).
  9. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes (S8).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑬, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (S9).
  11. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑪, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S6).
  12. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑩, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (S7).
  13. Il continue tout droit dans l'impasse des Roses ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S10).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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