site2wouf.fr : La tournée du jour

Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.

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Fiche n°
mercredi 5 août 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① impasse du Vieux-Four⑪ rue des JardinsS0 Place du Marchéa la poste
② rue Haute⑫ rue du StadeS1 Place de l'Égliseb la salle des fêtes
③ chemin Creux⑬ chemin du LavoirS2 Carrefour de l'Hôpitalc le lavoir
④ passage du Marché⑭ allée des PeupliersS3 Rond-point de la Gared le stade
⑤ chemin de Ronde⑮ rue de la PosteS4 Rond-point du Pont
⑥ rue Neuve⑯ sentier des PrésS5 Carrefour Saint-Roch
⑦ rue du Four⑰ venelle du ChatS6 Carrefour du Moulin
⑧ rue du Puits⑱ allée des TilleulsS7 Carrefour des Tilleuls
⑨ quai aux Fleurs⑲ rue des ÉcolesS8 Placette des Ormes
⑩ chemin des Vignes⑳ rue BasseS9 Place du Vieux-Puits
S10 Place Sainte-Croix
S11 Rond-point de la Poste
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617181920abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11
Nombre de rues126434642224
Paritéimpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 40 = 2 × 20, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S0, S4 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S3, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S0 et S4 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S3, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S0 à S4. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S0 :
  1. Il part de Place du Marché (S0), prend l'impasse du Vieux-Four ① vers le sud et atteint Carrefour de l'Hôpital (S2).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Haute ②, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église (S1).
  3. Il tourne à droite dans le chemin Creux ③, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S3).
  4. Il prend dans le quai aux Fleurs ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (S4).
  5. Il continue tout droit dans le chemin de Ronde ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S2).
  6. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S5).
  7. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S11).
  8. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ④, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (S10).
  9. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑯, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (S6).
  10. Il continue tout droit dans la rue du Four ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S2).
  11. Il prend dans la rue du Puits ⑧, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S7).
  12. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S5).
  13. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑮, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (S8).
  14. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑳, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S11).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑲, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S7).
  16. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑰, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S6).
  17. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S3).
  18. Il prend dans la rue des Jardins ⑪, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S9).
  19. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑱, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S6).
  20. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑫, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (S4).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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