site2wouf.fr : La tournée du jour

Il existe des femmes qui ne veulent accepter que la portion d'amour qui n'engage à rien.

Jacques Lamarche (sur Mon tshirt!)

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Fiche n°
samedi 8 août 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Four⑨ rue de la MairieS0 Place de la Fontainea la poste
② venelle du Chat⑩ chemin du LavoirS1 Coin du Lavoirb le gymnase
③ rue de la Poste⑪ passage du MarchéS2 Place aux Herbesc le stade
④ rue Verte⑫ chemin des VignesS3 Rond-point des Vachesd la gendarmerie
⑤ rue Haute⑬ rue BasseS4 Place du Vieux-Puitse la pharmacie
⑥ sentier des Prés⑭ quai aux FleursS5 Place Sainte-Croix
⑦ allée des Tilleuls⑮ rue du PontS6 Rond-point de la Poste
⑧ avenue de la GareS7 Carrefour de l'Hôpital
S8 Place du Marché
S9 Place de l'Église
S10 Placette des Ormes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10
Nombre de rues22262244222
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S3, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point des Vaches (S3), prend la venelle du Chat ② vers le nord et atteint Place de la Fontaine (S0).
  2. Il tourne à droite dans la rue du Four ①, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (S1).
  3. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S3).
  4. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S4).
  5. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑩, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (S6).
  6. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S3).
  7. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S7).
  8. Il prend dans la rue Haute ⑤, vers le nord, jusqu'à Place aux Herbes (S2).
  9. Il tourne à droite dans la rue Verte ④, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (S5).
  10. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S7).
  11. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑭, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église (S9).
  12. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (S10).
  13. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S6).
  14. Il prend dans la rue Basse ⑬, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (S8).
  15. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑨, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (S3).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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