site2wouf.fr : La tournée du jour

La meilleure preuve qu'il existe une forme d'intelligence extraterrestre est qu'elle n'a pas essayé de nous contacter.

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Fiche n°
dimanche 25 janvier 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Four⑪ rue des LilasS0 Rond-point de la Postea la poste
② venelle du Chat⑫ chemin CreuxS1 Place de la Fontaineb la salle des fêtes
③ allée des Tilleuls⑬ rue du PontS2 Coin du Lavoirc la bibliothèque
④ chemin de Ronde⑭ avenue de la GareS3 Carrefour Saint-Rochd le marché couvert
⑤ chemin du Lavoir⑮ rue des JardinsS4 Rond-point du Pont
⑥ rue Haute⑯ rue du PuitsS5 Carrefour de la Mairie
⑦ rue des Écoles⑰ rue du MoulinS6 Carrefour des Quatre-Chemins
⑧ allée des Peupliers⑱ sentier des PrésS7 Place de l'Église
⑨ rue de l'Église⑲ quai aux FleursS8 Place du Vieux-Puits
⑩ chemin des VignesS9 Rond-point des Vaches
S10 Placette des Ormes
S11 Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11
Nombre de rues422446422422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 38 = 2 × 19, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S6, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour des Quatre-Chemins (S6), prend la rue de l'Église ⑨ vers le nord et atteint Carrefour Saint-Roch (S3).
  2. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S0).
  3. Il prend dans la rue du Four ①, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine (S1).
  4. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (S9).
  5. Il prend dans le chemin des Vignes ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S3).
  6. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S5).
  7. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ④, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (S0).
  8. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (S4).
  9. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (S2).
  10. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑦, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S8).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (S4).
  12. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑪, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S5).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑬, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (S10).
  14. Il prend dans le sentier des Prés ⑱, vers le nord, jusqu'à Place de l'Église (S7).
  15. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑮, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S5).
  16. Il continue tout droit dans l'avenue de la Gare ⑭, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S6).
  17. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑯, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (S11).
  18. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑲, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S9).
  19. Il prend dans la rue du Moulin ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S6).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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