site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
lundi 26 janvier 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920212223abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① impasse des Roses⑬ chemin de RondeS0 Place du Vieux-Puitsa la poste
② allée des Tilleuls⑭ rue BasseS1 Rond-point du Pontb la gendarmerie
③ rue du Pont⑮ passage du MarchéS2 Carrefour des Tilleulsc l'école
④ venelle du Chat⑯ rue HauteS3 Carrefour des Quatre-Chemins
⑤ chemin des Vignes⑰ rue des JardinsS4 Carrefour de l'Hôpital
⑥ boulevard du Parc⑱ rue du StadeS5 Coin du Lavoir
⑦ sentier des Prés⑲ rue du PuitsS6 Rond-point du Stade
⑧ rue des Écoles⑳ rue de la PosteS7 Place du Marché
⑨ chemin Creux21 rue PasteurS8 Carrefour du Lavoir
⑩ rue Verte22 allée des PeupliersS9 Carrefour de la Mairie
⑪ rue Neuve23 avenue de la GareS10 Rond-point de la Gare
⑫ quai aux FleursS11 Rond-point de la Poste
S12 Placette des Ormes
S13 Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13
Nombre de rues14444242463422
Paritéimpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 46 = 2 × 23, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S0, S10 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S0, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S0 et S10, et la poste est justement sur l'un des deux (S0). Il part donc de la poste et termine en S10, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Place du Vieux-Puits (S0), prend l'impasse des Roses ① vers l'est et atteint Rond-point du Pont (S1).
  2. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S2).
  3. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S3).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Pont ③, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (S1).
  5. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ④, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S4).
  6. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S2).
  7. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S9).
  8. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S3).
  9. Il prend dans la rue Verte ⑩, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (S5).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑭, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S9).
  11. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑰, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (S6).
  12. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑫, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S4).
  13. Il prend dans le chemin de Ronde ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S8).
  14. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (S6).
  15. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑮, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (S11).
  16. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑥, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (S13).
  17. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur 21, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S8).
  18. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑳, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S11).
  19. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare 23, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S9).
  20. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers 22, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S10).
  21. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes (S12).
  22. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑲, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (S7).
  23. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑱, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S10).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S0 ou en S10 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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